Формула конечных приращений Лагранжа

Формулировка

Если функция $\in C[a,b]$ и дифференцируема на $(a,b),$ то $\exists \xi \in (a,b):f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).$

Доказательство

Рассмотрим функцию $\exists \xi \in (a,b):f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a),$ где число $\lambda$ выберем таким, чтобы выполнялось условие $\varphi (a)=\varphi (b),$ т.е. $f(a)+\lambda a=f(b)+\lambda b.$ Отсюда находим
$\lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$
Так как функция $\varphi (x)$ непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и принимает равные значения в концах этого интервала, то по теореме Ролля о корне производной существует точка $\xi \in (a,b)$ такая, что $\varphi ‘(\xi )=f'(\xi )+\lambda =0.$ Отсюда в силу условия $\lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ получаем равенство
$f'(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
равносильное равенству $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).$

Пример

Доказать что $ln(1+x)<x$ при $0<x$

Спойлер

Применяя теорему Лагранжа к функции на отрезке $[0,x],$ где $x>0,$ получим $ln(1+x)=\frac{1}{1+\xi}x,$ откуда следует $ln(1+x)>x,$ так как $0<\xi<x.$

[свернуть]