Бесконечно большие последовательности, их свойства и связь с бесконечно малыми последовательностями

Определение

Последовательность $\left \{ x_{n} \right \}$ называется бесконечно большой, если $\forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;\left|x_{n}\right|\geq\varepsilon$, или $\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=\infty$.

Геометрическая интерпретация

Назовем $\varepsilon$-окрестностью точки $\infty$ множество $E=\left\{x\in\mathbb{R}:\left|x\right|>\varepsilon\right\}$.
Введем множества $E_{1}=\left\{x\in\mathbb{R}:\;x<-\varepsilon\right\}$ и $E_{2}=\left\{x\in\mathbb{R}:\;x>\varepsilon\right\}$. Назовем эти множества $\varepsilon$-окрестностями точек $-\infty$ и $\infty$ соответственно. Тогда $E=E_{1}\cup E_{2}$.

Теорема (связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)

• Если $\left\{x_{n}\right\}$ — бесконечно большая последовательность, то начиная с некоторого номера $n$ определена последовательность $\left \{ \frac{1}{x_{n}}\right \}$, которая является бесконечно малой.
• Если все элементы бесконечно малой последовтельности $\left \{ \alpha_{n}\right \}$ отличны от нуля, то последовательность $\left \{\frac{1}{\alpha_{n}}\right \}$ — бесконечно большая.

Доказательство.

• Пусть $\left\{x_{n}\right\}$ — бесконечно большая последовательность, т.е. $\forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|x_{n}|\geq\varepsilon$. Это означает, что при $n\geq N_{\varepsilon}$ все элементы $x_{n}\neq 0$, поэтому последовательность $\left\{\frac{1}{x_{n}}\right\}$ имеет смысл с номера $N_{\varepsilon}$.
  Пусть $A$ — любое положительное число, тогда для числа $\frac{1}{A}$ $\exists\,N_{1}:\forall n\geq N_{1}\left|\frac{1}{x_{n}}\right|<A$, что по определению означает, что последовательность $\left\{\frac{1}{x_{n}}\right\}$ — бесконечно малая.
• Второе доказательство проводится аналогично.

Свойства бесконечно больших последовательностей

1. Сумма бесконечно больших последовательностей одного знака есть бесконечно большая последовательность того же знака.
2. Сумма бесконечно большой и ограниченной последовательностей есть бесконечно большая последовательность.
3. Произведение бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность.
4. Произведение бесконечно большой последовательности на константу есть бесконечно большая последовательность.

Доказательство.

1. Пусть $\left\{x_{n}\right\},\;\left\{y_{n}\right\}$ — бесконечно большие последовательности.
   По определению:
   $\forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{1}>0:\;\forall n\geq N_{1} \;\;\left|x_{n}\right|\geq\varepsilon$ и $\forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{2}>0:\;\forall n\geq N_{2} \;\;\left|y_{n}\right|\geq\varepsilon$.
   Тогда для последовательности $\left\{x_{n}+y_{n}\right\}$:
   $\forall \varepsilon >0 \;\; \exists N=\max\left\{N_{1},N_{2}\right\}>0:\;\forall n\geq N \;\;\left|x_{n}+y_{n}\right|\geq\varepsilon$, что означает, что последовательность $\left\{x_{n}+y_{n}\right\}$ — бесконечно большая.
2. Пусть последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ — бесконечно большая, $\left\{y_{n}\right\}$ — ограниченная. Тогда по определению $\forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|x_{n}|\geq\varepsilon$ и $\exists\,C:\;\forall n\in\mathbb{N} \left|y_{n}\right|<C$.
   Рассмотрим $\left|x_{n}+y_{n}\right|$:
   $\left|x_{n}+y_{n}\right|=\left|x_{n}\right|\cdot\frac{\left|x_{n}+y_{n}\right|}{\left|x_{n}\right|}=\left|x_{n}\right|\cdot\left|\frac{x_{n}+y_{n}}{x_{n}}\right|=\left|x_{n}\right|\cdot\left|\frac{x_{n}}{x_{n}}+\frac{y_{n}}{x_{n}}\right|=\left|x_{n}\right|\left(1+0\right)=\left|x_{n}\right|\geq\varepsilon$
   (используются свойства модулей, свойства бесконечно малых последовательностях и теорема о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)
   Получили: $\forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;\left|x_{n}+y_{n}\right|\geq\varepsilon$, что означает, что последовательность $\left\{x_{n}+y_{n}\right\}$ — бесконечно большая.
3. Доказательство аналогично предыдущему.
4. Пусть последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ — бесконечно большая, $C \neq 0$ — константа. Тогда по определению $\forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|x_{n}|\geq\varepsilon$.
   Рассмотрим $\left|x_{n}\cdot C\right|$:
   $\left\{x_{n}\right\}\rightarrow\infty, \Rightarrow \left\{\frac{1}{x_{n}}\right\}\rightarrow 0$ (по теореме о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями).
   $C$ — константа, $\Rightarrow\left\{\frac{1}{C}\right\}$ — также константа, т.е. ограниченная.
   $\left \{ \frac{1}{x_{n}\cdot C} \right \}=\left \{\frac{1}{x_{n}}\cdot\frac{1}{C} \right \}\rightarrow 0\Rightarrow\left \{ x_{n}\cdot C \right \}\rightarrow\infty$, что означает, что последовательность $\left\{x_{n}y_{n}\right\}$ — бесконечно большая.
   (используются свойства бесконечно малых последовательностей и теорема о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)

Примеры.

1. Последовательность $\left\{n\right\}$ является бесконечно большой, т.к. $\forall\varepsilon\>0\;\exists N=\left[\varepsilon\right]+1:\;\forall n\geq N\;n>\varepsilon$.
2. Последовательность $\left\{\frac{n^2}{n+1}\right\}$ является бесконечно большой, т.к. $\frac{n^2}{n+1}=\frac{n}{1+\frac{1}{n}}\rightarrow\frac{\infty}{1+0}=\infty$.
3. $\frac{n}{\left(\cos n\right)^2}=n\cdot\frac{1}{\left(\cos n\right)^2}$ — бесконечно большая, т.к. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}n=\infty$, а $\frac{1}{\left(\cos n\right)^2}$ — ограниченная, сохраняющая знак.
4. $\left\{-\sqrt{n}\right\}$
   Выберем произвольное число $\varepsilon>0:\;-\sqrt{n}\leq-\varepsilon;\; N>\varepsilon^2$. Получили: $\forall\varepsilon>0\;\exists N=\left[\varepsilon^{2}+1\right]:\,\forall n\geq N\;\; -\sqrt{n}<-\varepsilon$, т.е. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(-\sqrt{n}\right)=-\infty$.

Литература

• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012
• Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу,М.,1969. стр.15-17
• Свойства бесконечно малых последовательностей
• Основные свойства бесконечно больших последовательностей

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 8 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8

Информация

Тест по теме «Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 8

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 20 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 8

   1.

   Является ли последовательность $\left\{\frac{1}{3^n}\right\}$ при $n\rightarrow\infty$ бесконечно малой?
   

   • Да.
   • Нет.
   • Не знаю или затрудняюсь ответить.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 8

   2.

   Сформулировать с помощью кванторов:
   $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=-\infty$
   

   • $$\forall \varepsilon>0\;\exists N:\forall n\geq N\;\left | x_{n} \right |<\varepsilon$$
   • $$\forall \varepsilon>0\;\exists N:\forall n\geq N\,\; x_{n} <\varepsilon$$
   • $$\forall \varepsilon>0\;\exists N:\forall n\geq N\;\, \left | x_{n} \right | <-\varepsilon$$
   • $$\forall \varepsilon>0\;\exists N:\forall n\geq N\;\, x_{n}<-\varepsilon$$
   • $$\exists\varepsilon>0\;\forall N:\exists n\geq N\;\, x_{n}<-\varepsilon$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 8

   3.

   Дополните определение.
   

   • Последовательность $\alpha_n$ называется (бесконечно) (малой), если ее предел при $n\rightarrow\infty$ равен $0$.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 8

   4.

   Какие из перечисленных свойств относятся к свойствам бесконечно малых последовательностей?
   

   • Бесконечно малая последовательность ограничена.
   • Отношение бесконечно малой последовательности к ограниченной есть бесконечно большая последовательность.
   • Последовательность является бесконечно малой тогда и только тогда, когда она является ограниченной.
   • Если элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу $C$, то $C=0$ .
   • Сумма бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
   • Любая бесконечно малая последовательность монотонна.
   • Если последовательность $\left\{\alpha_n\right\}$ - бесконечно малая, то последовательность $\left\{\frac{1}{\alpha_n}\right\}$ - также бесконечно малая.
   • Если последовательность $\left\{\alpha_n\right\}$ - бесконечно малая, то последовательность $\left\{\frac{1}{\alpha_n}\right\}$ - ограниченная.
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 8

   5.

   Какие из следущих последовательностей бесконечно малые?
   

   • $$\left\{\frac{1}{n}\right\},\;n\rightarrow\infty$$
   • $$\left\{\frac{n}{\ln n}\right\},\;n\rightarrow\infty$$
   • $$\left\{\frac{\sin^2 n}{n}\right\},\;n\rightarrow\infty$$
   • $$\left\{\frac{e^n}{n}\right\},\;n\rightarrow\infty$$
   • $$\left\{\sqrt[n]{a}\right\},\;n\rightarrow\infty$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 8

   6.

   Сформулируйте теорему о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями.
   Если $\left\{x_n\right\}$ — ____________________ _________________ последовательность, то начиная с некоторого номера $n$ определена последовательность $\left\{\frac{1}{x_n}\right\}$, которая является бесконечно малой.

   • (бесконечно) (большая)
   Правильно
   

   Неправильно
   
7. Задание 7 из 8

   7.

   Расставьте последовательности согласно их свойствам.
   

   Элементы сортировки

   • $$\left\{\frac{1}{n!}\right\}$$
   • $$\left\{\frac{2^n}{n^2}\right\}$$
   • $$\left\{\sin{\frac{n!}{2^n}}\right\}$$

   • Бесконечно малая последовательность

   • Бесконечно большая последовательность

   • Ограниченная последовательность (не является ни бесконечно малой, ни бесконечно большой)

   Правильно
   

   Неправильно
   
8. Задание 8 из 8

   8.

   Сформулируйте свойство бесконечно малых последовательностей.
   Любая бесконечно малая последовательность …
   Правильно
   

   Неправильно