Теорема о единственности полинома Тейлора
Если существует [latex]f^{(n)}(x_{0})[/latex] и при [latex]x\rightarrow x_{0} [/latex] [latex]f[/latex] представима в виде [latex]f(x)=a_{0}+ [/latex] [latex] a_{1}(x-x_{0})+… [/latex] [latex] +a_{n}(x-x_{0})^{n}+ [/latex] [latex] O((x-x_{0})^{n})[/latex], то многочлен [latex]A=a_{0}+[/latex][latex]a_{1}(x-x_{0})+… [/latex] [latex] +a_{n}(x-x_{0})^{n}[/latex] и будет многочленом Тейлора в точке [latex]x_{0}[/latex], то есть [latex]a_{k}=\cfrac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}[/latex].
Доказательство.
$latex f(x)=f(x_{0})+ $ $latex \frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+…$ $latex +\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+$ $latex O((x-x_{0})^{n}) &s=1 .$
Приравниваем:
$latex f(x_{0})+$ $latex \frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+…$ $latex +\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+$ $latex O((x-x_{0})^{n})=$ $latex a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+…$ $latex +a_{n}(x-x_{0})^{n}+$ $latex O((x-x_{0})^{n}) &s=1 $.
Берем предел обеих частей при [latex]x\rightarrow x_{0} [/latex]. Получаем, что:
$latex \frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})\rightarrow 0 &s=1 ;$
$latex \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}\rightarrow 0 &s=1 ;$
$latex O((x-x_{0})^{n})\rightarrow 0 &s=1 ;$
$latex a_{1}(x-x_{0})\rightarrow 0 &s=1 ;$
$latex a_{n}(x-x_{0})^{n}\rightarrow 0 &s=1 ;$
$latex O((x-x_{0})^{n})\rightarrow 0 &s=1 ;$
$latex f(x_{0})=a_{0} &s=1 .$
Отбрасываем первые слагаемые в обеих частях уравнения:
[latex] \cfrac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+…[/latex][latex]+\cfrac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+[/latex][latex]O((x-x_{0})^{n})=[/latex][latex] a_{1}(x-x_{0})+…[/latex][latex]+a_{n}(x-x_{0})^{n}+[/latex][latex]O((x-x_{0})^{n})\mid /(x-x_{0}) .[/latex]
[latex] \cfrac{f'(x_{0})}{1!}+…[/latex][latex]+\cfrac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n-1}+[/latex][latex]O((x-x_{0})^{n-1})=[/latex][latex]a_{1}+[/latex][latex]a_{2}(x-x_{0})+…[/latex][latex]+a_{n}(x-x_{0})^{n-1}+[/latex][latex]O((x-x_{0})^{n-1})\mid \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}(\cdot ) .[/latex]
Получаем:
$latex \cfrac{f'(x_{0})}{1!}=a_{1} &s=1 $.
Проделываем те же действия, что и ранее, получаем:
$latex a_{k}=\cfrac{f^{(k)}(x_{0})}{k!} &s=1 $.
Следовательно разложение по формуле Тейлора однозначно.
Замечание:
Пусть [latex]f(x)[/latex] — бесконечно дифференцируема в точке [latex]0[/latex].
- Если функция [latex]f(x)[/latex] — четная, то [latex]f'[/latex] — нечетная, [latex]f»'[/latex] — нечетная, …, [latex]f^{(2n+1)}[/latex] — нечетная, а так как нечетная функция в 0 всегда принимает значение, равное 0, то [latex]f'(0)=f»'(0)=…[/latex] [latex] =f^{(2n+1)}(0)=0[/latex].
- Если функция [latex]f(x)[/latex] — нечетная, то [latex]f»[/latex] — нечетная, …, [latex]f^{(2n)}[/latex] — нечетная, а так как нечетная функция в 0 всегда принимает значение, равное 0, то [latex]f»(0)=…= f^{(2n)}(0)=0[/latex].
Вывод:
Если [latex]f(x)[/latex] — четная, то формула Тейлора будет для нее содержать только четные степени, если [latex]f(x)[/latex] — нечетная, то формула Тейлора будет разлагаться только по нечетным степеням.
Источники:
- Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Теорема о единственности разложения по формуле Тейлора»).
- Фихтенгольц Г.М. — Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1, Глава третья, пар. 5, ст. 248-251.
Тест по теме: единственность полинома Тейлора
Проверьте себя на знание теоретического материала по теме: единственность полинома Тейлора.
Таблица лучших: Тест по теме: единственность полинома Тейлора
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |