Производные и дифференциалы высших порядков

Вторая производная функции в точке

$x_{0}$

Пусть функция

$f(x)$ имеет производную во всех точках интервала

$(a,b)$ . Если

$f'(x)$ дифференцируема в точке

$x_{0}\in (a,b)$ , то ее производную называют производной второго порядка в точке

$x_{0}$ и обозначают

$f»(x_{0}),$

$f^{(2)}(x_{0}),$

$\frac{d^{2}f(x_{0})}{dx^{2}},$

$f_{xx}^{»}(x_{0}).$

Таким образом, по определению
$f^{»}(x_{0})=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f'(x_{0}+\Delta x)-f'(x_{0})}{\Delta x}.$

$f»(x_{0})$

$f(x)= \sin{x}$

Спойлер

$f'(x)=\cos{x}=\sin{(\frac{\pi }{2}-x)}=\sin{(x+\frac{\pi }{2})}$
$f»(x)=-\sin{x}=\sin{(2\tfrac{\pi }{2}+x)}$

[свернуть]
$f(x)=x\sqrt{1+x^{2}}$

Спойлер

$f'(x)=\sqrt{1+x^{2}}+\frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}=\frac{1+2x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}};$
$f»(x)=(\frac{1+2x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}})'[latex]=\frac{4x\sqrt{1+x^{2}}-(1+2x^{2})x(1+x^{2})^{-\frac{1}{2}}}{1+x^{2}}=\frac{3x+2x^{3}}{(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}};$

[свернуть]

В общем случае производные высших порядков вычисляются по принципу:
$f^{(n)}(x)=(f^{(n-1)}(x))'$

Т.е. производные более высоких порядков вычисляются через производные более низкого порядка. Если рассматривать пример 1, то можно заметить, что вторая производная была взята как производная производной первого порядка, а производная третьего порядка выглядит так:
$f»'(x)=(f»(x))’=(-\sin{x})’=-\cos{x}=\sin{(x+3\frac{\pi }{2})}$

Можно заметить некую закономерность в нахождении производных высшего порядка для $sinx$ и вывести общую формулу для этой функции:
$f^{(n)}(x)=\sin{(x+n\frac{\pi }{2})}$

Существуют функции, которые можно дифференцировать бесконечное количество раз.

Бесконечно дифференцируемая функция

Если функция имеет на

$[a,b]$ производные всех порядков, то она называется бесконечно дифференцируемой на

$[a,b]$

Например, к таким функциям можно отнести $f(x)=e^{x}$ т.к. $f^{n}(x)=e^{x}$

$\alpha f+\beta g$ тоже имеют производные до n-ного порядка включительно и $(\alpha f+\beta g)^{(n)}=\alpha f^{(n)}+\beta g^{(n)}.$
$fg$ тоже имеют производные до n-ного порядка включительно и
$(fg)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}f^{(k)}g^{(n-k)}$ (Формула Лейбница)

Замечание! Дифференциалы первого порядка имеют инвариантную форму. Т.е., несмотря на то, будет ли x зависимой или независимой переменной, дифференциал имеет вид
$dy=f'(x)dx.$ Второй дифференциал этим свойством уже не обладает.