Неопределенный интеграл от рациональной функции всегда можно «взять», т.е. представить в виде элементарных функций.
Рациональной функцией называется отношение двух многочленов.
$\large \frac{P(x)}{Q(x)}=S+\frac{\tilde{P}(x)}{Q(x)},$
где $latex S$ — «целая часть» (многочлен).
$\normalsize \deg(\tilde{P}(x))<\deg(Q(x))$
Нам понадобиться умение разлагать многочлен на простые множители.
$$Q_{n}(x)=C(x-a_{1})^{\alpha_{1}}(x-a_{2})^{\alpha_{2}}…(x-a_{k})^{\alpha_{k}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}…(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}$$
Если $\normalsize m<n$, то:
$$ \small \frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}=\frac{A_{1}^{\alpha_{1}}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}}}+\frac{A_{1}^{(\alpha_{1}-1)}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}-1}}+…+\frac{A_{1}^{(1)}}{(x-a_{1})}+…+\frac{A_{k}^{\alpha_{k}}}{(x-a_{k})^{\alpha_{k}}}+\frac{A_{k}^{(\alpha_{k}-1)}}{(x-a_{k})^{\alpha_{k}-1}}+…$$ $$+\frac{A_{k}^{(1)}}{x-a_{k}}+\frac{B_{1}^{\beta_{1}}x+D_{1}^{\beta_{1}}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}}+\frac{B_{1}^{(\beta_{1}-1)}+D_{1}^{(\beta_{1}-1)}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}-1}}+…$$ $$+\frac{B_{1}^{(1)}x+D_{1}+D_{1}^{(1)}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})}+…+\frac{B_{s}^{\beta_{s}}x+D_{s}^{(s)}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}}+…+\frac{B_{s}^{(1)}x+D_{s}^{(1)}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})}.$$
Таким образом правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простых дробей вида:
$$ \frac{A}{(x-\alpha)^{r}},r \epsilon \mathbb{N} и \frac{Bx+D}{(x^{2}+px+q)^{k}},k \epsilon \mathbb{N}$$
$$r=1: \int\frac{A}{x-\alpha}dx=A\int\frac{d(x-\alpha)}{x-\alpha}=A\ln\left|x-\alpha\right|+C$$
$$r\neq1: \int\frac{A}{(x-\alpha)^{r}}dx=A\int(x-\alpha)^{-r}d(x-\alpha)=A\frac{(x-\alpha)^{-r+1}}{-r+1}+C$$
Обозначим $\large I_{k}=\int\frac{Bx+D}{(x^{2}+px+q)^{k}}dx$
$\large x^{2}+px+q=(x+\frac{p}{2})^{2}+(q-\frac{p^{2}}{4})$
$\large p^{2}-4q\frac{p^{2}}{4}$
$\large dx=\sqrt{q-\frac{p^{2}}{4}}=a, x+\frac{p}{2}=t$
$\large I_{k}=\int\frac{B(t-\frac{p}{2})+D}{(t^{2}+a^{2})^{k}}dt=B\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}+B(-\frac{p}{2})+D\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$
Пусть $\large I_{k}^{1}=B\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$, $\large I_{k}^{2}=\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$
$\large k>1:$ $\large I_{k}^{1}=\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}=\frac{1}{2}\int(t^{2+a^{2}})^{-k}d(t^{2}+a^{2})=$
$\large =\frac{1}{2}\frac{(t^{2}+a^{2})^{-k+1}}{-k+1}+C=\frac{1}{2(-k+1)(x^{2}+px+q)^{k-1}}+C$
$\large k=1:$ $\large I_{1}^{1}=\int\frac{tdt}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\int\frac{d(t^{2}+a^{2})}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\ln\left|t^{2}+a^{2}\right|+C$
В случае $\large k>1$ интеграл «берем» по рекурентной формуле, доказанной выше.
$\large k=1:$ $\large I_{1}^{2}=\int\frac{dt}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan(\frac{t}{a})+C=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x+\frac{p}{2}}{a})+C$
Пример 1
Вычислить интеграл $\large \int\frac{2x+3}{x^{2}-9}dx.$
Решение
Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:
$\large \frac{2x+3}{x^{2}-9}=\frac{2x+3}{(x-3)(x+3)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+3}.$
Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:
$\large A(x+3)+B(x-3)=2x+3$
$\large Ax+3A+Bx-3B=2x+3$
$\large (A+B)x+3A-3B=2x+3$
Следовательно,
$\large \begin{cases}A+B=2 \\ 3A-3B=3 \end{cases}, \begin{cases}A=\frac{3}{2} \\ B=\frac{1}{2} \end{cases}.$
Тогда
$\Large \frac{2x+3}{x^{2}-9}=\frac{\frac{3}{2}}{x-3}+\frac{\frac{1}{2}}{x+3}.$
Теперь легко вычислить исходный интеграл
$\large \int\frac{2x+3}{x^{2}-9}dx=\frac{3}{2}\int\frac{dx}{x-3}+\frac{1}{2}\int\frac{dx}{x+3}=\frac{3}{2}\ln\left|x-3\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x+3\right|+C=$
$\large =\frac{1}{2}\ln\left|(x-3)^{3}(x+3)\right|+C.$
Пример 2
Вычислить интеграл $\large \int\frac{x^{2}-2}{x+1}dx$
Решение
Сначала выделим правильную рациональную дробь, разделив числитель на знаменатель.
$\large \frac{x^{2}-2}{x+1}=x-1-\frac{1}{x+1}$
Получаем
$\large \int\frac{x^{2}-2}{x+1}dx=\int(x-1-\frac{1}{x+1})dx=\int xdx-\int dx-\int\frac{dx}{x+1}=$
$ \large =\frac{x^{2}}{2}-x-\ln\left|x+1\right|+C.$
Литература:
- Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрально исчисления,Том 2, „Наука“, Москва 1970, стр. 36.
- Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012.
- Интегрирование рациональных фунций http://www.math24.ru/
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование рациональных функций
Таблица лучших: Интегрирование рациональных функций
максимум из 6 баллов Место Имя Записано Баллы Результат Таблица загружается
Ссылка в никуда. Ссылаются обычно на страницу с названием (и автором) а не пишут URL, тем более, не ведущий к странице.
Учебники и страницы в них не указаны. Помните, что без этого работу не приму?
Термины не выделены.
Тестов нет.
Замечания учтены. Задание готово к проверке.