Интегрирование дифференциального бинома

Дифференциальным биномом называют выражение вида

 x^{m} (a+bx^{n})^{p} dx,

где a и b — любые константы, а показатели степеней m, n и p — рациональные числа. Изучим вопрос об интегрируемости в элементарных функциях дифференциальных биномов.
Рассмотрим три случая , когда интеграл от дифференциального бинома допускает рационализирующую подстановку.
1. Первый случай соответствует целому p. Дифференциальный бином представляет собой дробно-линейную иррациональность вида  R (x,\sqrt[r]{x}) dx , где r — наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел m и n. Стало быть, интеграл от дифференциального бинома в этом случае рационализируется подстановкой  t=\sqrt[r]{x} .
2.Второму случаю соответствует целое число  \frac{m+1}{n} . Сделаем подстановку
 z = x^{n} и положим для краткости  \frac{m+1}{n}-1=q , получим

 \int x^{m} (a+bx^{n})^{p} dx=\frac{1}{n}\int (a+bz)^{p} z^{q}dz

Подынтегральная функция в правой части является дробно-линейной иррациональностью следующего вида вида  R (z,\sqrt[s]{a+bz}) , где s — знаменатель рационального числа p.
Таким образом, для второго случая дифференциальный бином рационализируется подстановкой

 t=\sqrt[s]{a+bz}=\sqrt[s]{a+bx^{n}}.

3. Третьему случаю соответствует целому число  (\frac{m+1}{n}+p) . Подынтегральная функция в правой части является дробно-линиейной иррациональностью вида  R (z,\sqrt[s]{\frac{a+bz}{z}}) , так что интеграл от дифференциального бинома рационализируется подстановкой вида

 t=\sqrt[s]{\frac{a+bz}{z}}=\sqrt[s]{\frac{a}{x^{n}}+b}.

В середине 19-го века П.Л.Чебышев доказал, что указанными выше тремя случаями исчерпываются все случаи, когда дифференциальный бином интегрируется в элементарных функциях. (Мемуар 1853 года «Об интегрировании иррациональных дифференциалов»).

Примеры

1)Вычислить интеграл  I=\int \frac{ \sqrt{x}dx}{ (1+\sqrt[3]{x})^{2}} = \int x^{\frac {1} {2}} (1+x^{\frac{1}{3}})^{-2} . Здесь  m=\frac{1}{2}, n=\frac{1}{3}, p=-2 .  Так как p — целое, значит используем подстановку из первого случая

 x=t^{6}, dx=6t^{5}dt, \sqrt {x} = t^{3}, \sqrt [3] {x} = t^{2}

подставим:

 I = 6 \int\frac{t^{8}}{ (t^{2} + 1)^{2} }dt = 6 \int (t^{4} - 2t^{2} + 3 - \frac{4} {t^{2}+1} + \frac{1} { (t^{2} + 1)^{2} }) dt = \frac {6}{5}x^{\frac{5}{6}} - 4x^{\frac {1}{2}} + 18x^{\frac {1}{6}} + \frac{3x^{\frac{1}{6}}} { (1 + x^{\frac{1}{3}})} - 21arctg (x^{\frac{1}{6}}) + C

2) Вычислить интеграл  I = \int \frac{x}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^{2}}}} dx. Здесь  m = 1, n = \frac{2}{3}, p = -\frac{1}{2}. Так как \frac{m+1}{n} = 3 — целое (второй случай).

t^{2} = 1 +x^{\frac{2}{8}}, x = (t^{2} - 1)^{\frac{8}{2}},  dx = 3t (t^{2}-1)^{\frac{1}{2}} dt

подставим:

 I = 3\int (t^{2}-1)^{2} dt = \frac{3}{5}t^{6} - 2t^{3} + 3t + C,

t=\sqrt{1+\sqrt[3]{x^{2}}}

3) Вычислить интеграл  I=\int x^{5} (1-x^{2})^{-\frac{1}{2}} dx . Графиком подынтегральной функции будет:
curs
В данном случае  m=5,n=2,p=-\frac{1}{2} , так что  \frac{m+1}{n}=3 (второй случай). Сделав подстановку

 t=\sqrt{1-x^{2}}, x=\sqrt{1-t^{2}}, dx=-\frac{tdt}{\sqrt{1-t^{2}}},

будем иметь

 -\int (1-t^{2})^{2} dt=-\int dt+2\int t^{2}dt-\int t^{4}dt=-t+\frac{2}{3}t^{3}-\frac{t^{5}}{5}+C=-\sqrt{1-x^{2}}+\frac{2}{3}\sqrt{ (1-x^{2})^{3}} -\frac{\sqrt{ (1-x^{2})^{5} }}{5}+C.

 

4) Вычислить интеграл  I=\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{a+bx^{2}}}=\int x^{-2} (a+bx^{2})^{-\frac{1}{2}} dx . Здесь  m=-2,n=2,p=-\frac{1}{2} , так что  \frac{m+1}{n}+p=-1 (третий случай) Сделав подстановку

 t=\sqrt{\frac{a}{x^{2}}+b}, x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{t^{2}-b}}, dx=-\frac{\sqrt{a}tdt}{\sqrt{ (t^{2}-b)^{3} }},

будем иметь

 I=\int - (\frac{dt}{a}) = -\frac{t}{a}+C=-\frac{\sqrt{\frac{a}{x^{2}}+b}}{a}+C.

Литература

  • В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Основы математического анализа, М.:Наука, 1982. стр. 227, 228.

Интегрирование дифференциального бинома

Интегрирование дифферециального бинома

Таблица лучших: Интегрирование дифференциального бинома

максимум из 15 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *