Символ Ландау

Символами Ландау являются «О» большое и «о» малое ([latex]O[/latex] и [latex]o[/latex]).

Определение:

Пусть $latex f(x)$ и $latex g(x)$ — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки $latex x_0$, причем в этой окрестности $latex g$ не обращается в ноль. Говорят, что:

• $latex f$ является «О» большим от $latex g$ при $latex x\to x_0$ и пишут $latex f=\underset{x\to x_0}{O(g)}$, если существует такая константа $latex C>0$, что для всех $latex x$ из некоторой окрестности точки $latex x_0$ имеет место неравенство $latex |f(x)| \leq C |g(x)|$;
• $latex f$ является «о» маленьким от $latex g$ при $latex x\to x_0$ и пишут $latex f=\underset{x\to x_0}{o(g)}$, если для любого $latex \varepsilon >0$ найдется такая проколотая окрестность $latex U’_{x_0}$ точки $latex x_0$, что для всех $latex x \in U’_{x_0}$ имеет место неравенство $latex |f(x)|<\varepsilon|g(x)|$.

Иначе говоря, в первом случае отношение $latex |f|/|g|$ в окрестности точки $latex x_0$ ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при $latex x\to x_0$, то есть функция $latex f$ является бесконечно малой в сравнении с $latex g$.

Примеры:

$latex x^2=\underset{x\to 0}{o(x)}$, т.к. $latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to 0}x=0;$
$latex \sin^2 x=\underset{x\to x_0}{O(x)}, x_0 \epsilon \mathbb{R}$, т.к. $latex \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}=0;$
$latex -x^3={O(x)}$, т.к. $latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{-x^3}{x}=\lim\limits_{x\to 0}-x^2; $ а функция $latex -x^2$ ограничена сверху в окрестности точки 0.
$latex \sin^2 x={O(x)}, x_0 \epsilon \mathbb{R}$, т.к. $latex \lim\limits_{x\to x_0}\frac{\sin^2 x}{x}=\lim\limits_{x\to x_0}\sin x;$ а функция $latex \sin x$ всегда ограничена сверху единицей.

Свойства «О» большого и «о» маленького

Для функций $latex f=f(x),\:g=g(x)$ и $latex x \epsilon \mathbb{R}$ справедливы равенства:

1. $latex o(f)+o(f)=o(f);$
2. $latex o(f)$ тем более есть $latex O(f);$
3. $latex o(f)+O(f)=O(f);$
4. $latex O(f)+O(f)=O(f);$
5. $latex \frac{o(f(x))}{g(x)}=o(\frac{f(x)}{g(x)})$ и $latex \frac{O(f(x))}{g(x)}=O(\frac{f(x)}{g(x)}),$ если $latex g\neq 0;$ 
6. $latex o(o(f))=o(f);$
7. $latex o(Cf)=o(f);$
8. $latex C\cdot o(f)=o(f);$
9. $latex o(f+o(f))=o(f);$
10. $latex o(f)\pm o(f)=o(f);$
11. $latex o(f^n)\cdot o(f^m)=o(f^{n+m}), n,m\epsilon\mathbb{N};$
12. $latex (o(f))^n=o(f^n), n \epsilon\mathbb{N}$ .

Примеры:

$latex \underset {x\to 0}{o(x^2)+o(x^2)}=\underset{x\to 0}{o(x^2)}$
$latex \underset {x\to 0}{o(2x^5)}=\underset{x\to 0}{o(x^5)}$
$latex \underset {x\to 0}{o(x^2)\cdot o(x^3)}=\underset{x\to 0}{o(x^5)}$.

Символ Ландау

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Символ Ландау»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Какие из следующих символов являются символами Ландау?

   • $$O$$
   • $$o$$
   • $$L$$
   • $$\bigodot$$
   • $$\Lambda$$
   • $$\sigma$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   $latex f=\underset{x\to x_0}{O(g)}$
   Какое из следующих утверждений всегда верно для отношения $latex \frac{f}{g}$ в окрестности точки $latex x_0$?

   • Это отношение ограничено сверху в окрестности этой точки.
   • Это отношение ограничено сверху и больше нуля в окрестности этой точки.
   • Это отношение больше нуля в окрестности этой точки.
   • Это отношение стремится к нулю в окрестности этой точки.
   • Это отношение стремится к бесконечности в окрестности этой точки.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Вопрос на знание свойств
   $latex o(f)$ тем более есть …
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Даны две функции $latex f$ и $latex g$.
   $latex f=\underset{x\to x_0}{o(g)}$

   • Тогда мы можем говорить, что функция f является (бесконечно) (малой) в сравнении с функцией g.
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Вопрос на знание свойств
   Соотнесите следующие выражения с ответом.

   Элементы сортировки

   • $$o(f)+O(f)$$
   • $$o(f+o(f))$$
   • $$(o(f))^n$$
   • $$o(f^n)\cdot o(f^m)$$

   • $$O(f)$$

   • $$o(f)$$

   • $$o(f^n)$$

   • $$o(f^{n+m})$$

   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники:

1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Непрерывные функции»).
2. Википедия, статья «О большое и о малое»
   
3. Кытманов А.А., Математический анализ, параграф 1.15.

Рекомендуемая к прочтению литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу в двух частях (часть 1), 2009, параграф 4.12, с.103-104