Число e

Рассмотрим последовательность x_n= (1+\frac{1}{n})^n, n \in \mathbb{N}.

Покажем, что последовательность ограничена и возрастает.

Сначала докажем монотонность. Воспользуемся биномом Ньютона:

(a+b)^n= a^{n}+\frac{n}{1}\cdot a^{n-1}\cdot b+\frac{n (n-1)}{1\cdot 2}\cdot a^{n-2}\cdot b^{2}+ \cdots +

+\frac{n (n-1) (n-2)\cdots (n- (n-1))}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot n}\cdot b^{n}.

Полагая, что  a= 1, b= \frac{1}{n},  получим:

(1+\frac{1}{n})^{n}= 1+\frac{n}{1}\cdot \frac{1}{n}+\frac{n (n-1)}{1\cdot 2}\cdot \frac{1}{n^{2}}+

+\frac{n (n-1) (n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}\cdot \frac{1}{n^{3}}+ ... + \frac{n (n-1) (n-2)... (n- (n-1))}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n}\cdot \frac{1}{n^{n}}=

= 1+1+\frac{1}{1\cdot 2} (1-\frac{1}{n})+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})+\cdots +

+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdots \cdot n} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{n-1}{n}).

(1+\frac{1}{n})^{n}= 1+1+\frac{1}{1\cdot 2} (1-\frac{1}{n})+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})+ \cdots +

+ \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdots\cdot n} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{n-1}{n}). (*)

Из равенства (*) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается.

Кроме того, при увеличении n число \frac{1}{n} — убывает,

поэтому величины (1-\frac{1}{n}), (1-\frac{1}{n}), \cdots возрастают.

Поэтому последовательность {x_n} =  \{ (1+\frac{1}{n})^{n}\}  — возрастающая, при этом (1+\frac{1}{n})^{n}>2. (**)

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства (*) на единицу. Правая часть увеличится, получим неравенство:

(1+\frac{1}{n})^{n}<1+1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+ \cdots +\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot n}.

Усилим полученное неравенство, заменив числа 3, 4, 5, \cdots, n , стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

(1+\frac{1}{n})^{n} = 1+ (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}).

Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+ \cdots +\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1\cdot (1- (\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}}= 2 (1-\frac{1}{2^n})<2.

Поэтому: (1+\frac{1}{n})^{n}<1+2= 3. (***)
Итак, последовательность ограничена, при этом для n \in \mathbb{N} выполняются неравенства (**) и (***):
2 < (1+\frac{1}{n})^{n}<3.

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последовательность имеет предел, обозначаемый обычно буквой  e :

\lim\limits_{x\overset{}{\rightarrow \infty }}(1+\frac{1}{n})^{n}= e.

Определение:

Числом e называется предел последовательности x_{n}= (1+\frac{1}{n})^{n}, n \in \mathbb{N}, т. е. e= \lim\limits_{n \to \infty } (1+\frac{1}{n})^{n}.

Это число иррациональное и приближенно равно e = 2.718281828\cdots. Логарифмы с основанием e называются натуральными и обозначаются \log_{e}x= \ln x. Данный предел называют вторым замечательным пределом. Многие примеры сводятся с помощью простых замен ко второму замечательному пределу. Рассмотрим пример решения на второй замечательный предел.

Пример.

Найти предел \lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{2}{x})^{x}.

Решение.

Преобразуем предел:

\lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{2}{x})^{x}= \lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{1}{\frac{x}{2}})^{\frac{x}{2}\cdot 2}= e^{2}.

Литература

  1. Портал знаний (Введение в анализ->Последовательности)
  2. Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу, стр.17 (часть 1)
  3. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Издание четвертое. Стр. 74-76: М.Наука. — 1982, 616 стр.

Число е.

Тест на тему: Число е

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *