Непрерывность в точке и существование производной

Необходимое условие непрерывности (Связь непрерывности в точке и существования производной в точке)

Формулировка: Если функция y = f\left(x\right) определена и дифференцируема (имеет производную) в некоторой окрестности U\left(x_{0}\right), то она непрерывна в точке x_{0}.

Доказательство: Пусть функция y = f\left(x\right) — имеет производную в точке x_{0}\Rightarrow;\Rightarrow \exists \lim\limits_{x \to x_{0}}\frac{f\left(x\right) - f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}={f}'\left(x_{0}\right)\Rightarrow \frac{f\left(x\right) - f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} = {f}'\left(x_{0}\right)+\alpha \left(\Delta x\right), где \alpha \left(\Delta x\right) = \underset{\Delta x \to 0}{o\left(\Delta x\right)}\Rightarrow f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right) = \left(x-x_{0}\right)\left({f}'\left(x_{0}\right)+\alpha \left(\Delta x\right)\right)\Rightarrow \lim\limits_{x\to x_{0}} f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right) = 0\Rightarrow функция f\left(x\right)непрерывна в точке x_{0}.

Замечание: Условие непрерывности функции в точке не является достаточным для дифференцируемости функции в точке.

Контр-пример:
y = |x|, y \in C_{\left(-\infty; +\infty\right)}
\forall x_{0} \in \mathbb{R} \lim\limits_{x \to x_{0}} |x| = |x_{0}|
KPabs
При x_{0} = 0 и \Delta x > 0, то получим \lim\limits_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta y}{\Delta x} = 1 \neq \lim\limits_{\Delta x \to 0-} \frac{\Delta y}{\Delta x} = -1, где \Delta x < 0, а значит функция y = |x| — не дифференцируема в точке 0, хотя и непрерывна в ней.

Список литературы:

  • Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 108-109.
  • Лекции Зои Михайловны Лысенко.

Тест:


Непрерывность в точке и существование производной

Тест на знание связи дифференцируемости и непрерывности.

Таблица лучших: Непрерывность в точке и существование производной

максимум из 16 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *