Арифметические операции со сходящимися последовательностями

Теорема (арифметические операции со сходящимися последовательностями)

Пусть последовательность \underset{n\to\infty}{\left\{x_{n}\right\}\rightarrow a} , а \underset{n\to\infty}{\left\{y_{n}\right\}\rightarrow b} . Тогда верны следующие утверждения:

  1. \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(x_{n}\pm y_{n})=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}\pm\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_{n}=a\pm b .
  2. \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(x_{n}\cdot y_{n})=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_{n}=a\cdot b .
  3. \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x_{n}}{ y_{n}}=\frac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_{n}}=\frac{a}{b},\;b\neq 0,\;y_{n}\neq 0 .

Доказательство.

  1. \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left ( a+\alpha_{n} \right )
    \lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left ( b+\beta_{n} \right ) ,
    где \alpha_{n} и \beta_{n} бесконечно малые последовательности.
    x_{n}+y_{n}=\left(a+\alpha_{n}\right)+\left(b+\beta_{n}\right)=\left(a+b\right)+\left(\alpha_{n}+\beta_{n}\right)=a+b
  2. x_{n}=a+\alpha_{n} , y_{n}=b+\beta_{n} , где \alpha_{n} и \beta_{n} — бесконечно малые последовательности.
    x_{n}\cdot y_{n}=\left(a+\alpha_{n}\right)\cdot\left(b+\beta_{n}\right)=ab+a\beta_{n}+\alpha_{n}b+\alpha_{n}\beta_{n}=ab
    (по свойству бесконечно малых последовательностей)
  3. x_{n}=a+\alpha_{n} , y_{n}=b+\beta_{n} , где \alpha_{n} и \beta_{n} бесконечно малые последовательности.
    \frac{a+\alpha_{n}}{b+\beta_{n}}=\frac{a}{b+\beta_{n}}+\alpha_{n}\cdot\frac{1}{b+\beta_{n}}=\frac{a}{b}
    (по свойству бесконечно малых последовательностей)

Примеры

  1. \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{2^n+\cos n}{2^{n+1}+\sin n^2}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{2^n\left(1+\frac{1}{2^n}\cos n\right)}{2^{n+1}\left(1+\frac{1}{2^{n+1}}\sin n^2\right)}=\frac{1}{2}\frac{\left(1+0\right)}{\left(1+0\right)}=\frac{1}{2}
  2. \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\frac{1}{\sqrt[n]{a}}}=\frac{1}{1}=1 при a>0
  3. \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(-2\right)^n+3^n}{\left(-2\right)^{n+1}+3^{n+1}}=?
    \frac{\left(-2\right)^n+3^n}{\left(-2\right)^{n+1}+3^{n+1}}= (делим числитель и знаменатель на 3^{n+1} ) =\frac{\frac{\left(-2\right)^n}{3^{n+1}}+\frac{1}{3}}{\left(\frac{-2}{3}\right)^{n+1}+1}=\frac{\frac{1}{3}\left(\frac{-2}{3}\right)^n+\frac{1}{3}}{\left(\frac{-2}{3}\right)^{n+1}+1}
    Предел частного = частному пределов, поэтому:
    \frac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{3}\left(\frac{-2}{3}\right)^n+\frac{1}{3}\right)}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\left(\frac{-2}{3}\right)^{n+1}+1\right)}=\frac{0\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}{0+1}=\frac{1}{3} .
  4. \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2n^2}+\sqrt[n]{5}-\frac{\sin^2 3}{3^n}\right)
    Предел суммы равен сумме пределов, поэтому:
    \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2n^2}+\sqrt[n]{5}-\frac{\sin^2 3}{3^n}\right)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2n^2}+\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{5}-\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin^2 3}{3^n}=0+1+0=1 .

Литература

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012
  • Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.,1969. стр. 16-17

Арифметические операции со сходящимися последовательностями

С помощью этого теста пользователь проверит свои навыки в нахождении пределов сходящихся последовательностей.


Таблица лучших: Арифметические операции со сходящимися последовательностями

максимум из 15 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Арифметические операции со сходящимися последовательностями: 1 комментарий

  1. Нельзя использовать картинки вместо формул в тестах.
    Текст про «сюрприз» абсолютно не вяжется с остальным стилем. Уберите его, пожалуйста.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *