Бином Ньютона

Бином Ньютона — формула, представляющая выражение $(a+b)^{n}$ при $n>0$  в виде:

$(a+b)^{n}=a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+C_{n}^{2}a^{n-2}b^{2}+$

$C_{n}^{3}a^{n-3}b^{3}+\cdots+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+b^{n}$,

где $C_{a}^{b}$ — число сочетаний из $a$ элементов по $b$ элементов.

$C_{n}^{k}=\frac {n!}{k!(n-k)!}$.

Докажем верность данного утверждения:

$\square$ Доказательство методом математической индукции.

$1)$ Для $n= 1$ :

$a+b=C_{1}^{0}a^{1-0}b^{0}+C_{1}^{1}a^{1-1}b^{1}=$

$a*1+b*1=a+b.$

Для $n=1$ утверждение выполняется.

$2)$ Предположим, что утверждение выполняется для $n=k$.

$(a+b)^{k}=C_{k}^{0}a^{k-0}b^{0}+C_{k}^{1}a^{k-1}b^{1}+$

$C_{k}^{2}a^{k-2}b^{2}+\cdots+C_{k}^{k-1}a^{1}b^{k-1}+C_{k}^{k}a^{0}b^{k}=$

$a^{k}+C_{k}^{1}a^{k-1}b+C_{k}^{2}a^{k-2}b^{2}+\cdots+$

$C_{k}^{k-1}a^{1}b^{k-1}+b^{k}=\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i}.$

$3)$ Докажем верность формулы для $n=k+1$.

Докажем, что $(a+b)^{k+1}=\sum\limits_{i=0}^{k+1}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}$.

$(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}=$

$(a+b)\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i}=$

$\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}$

Вынесем слагаемое при $i=0$ из первой суммы:

$\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i} = a^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}$

Вынесем слагаемое при $i=k$ из последней суммы:

$\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}=$

$b^{k+1} + \sum\limits_{i=0}^{k-1}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}=$

$b^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k-1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}$

Прибавим данные суммы:

$=a^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+$

$b^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k-1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}=$

$=a^{k+1}+b^{k+1}+$

$\sum\limits_{i=1}^{k}(C_{k}^{i}+C_{k}^{i-1})a^{k-i+1}b^{i}=$

$=\sum\limits_{i=0}^{0}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+$

$\sum\limits_{i=k+1}^{k+1}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+$

$\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}=$

$=\sum\limits_{i=0}^{k+1}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}$ $\blacksquare$

Также с помощью бинома Ньютона строится треугольник Паскаля, в котором числа в строке обозначают коэффициенты при соответствующих степенях:

Примеры:

$1)$ $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+\frac{3!}{1!*2!}ab^{2}+b{3}=$

       $a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.$

$2)$ $(a+b+c)^{4}=?$

$(a+b+c)^{4}=(a+(b+c))^{4}=$

$a^{4}+a^{3}(b+c)\frac{4!}{3!}+a^{2}(b+c)^{2}\frac{4!}{2!2}+$

$a(b+c)^{3}\frac{4!}{3!}+(b+c)^{4}=$

$a^{4}+a^{3}b\frac{4!}{3!}+a^{3}c\frac{4!}{3!}+a^{2}b^{2}\frac{4!}{2!2!}+2a^{2}bc\frac{4!}{2!}+$

$a^{2}c^{2}\frac{4!}{2!2!}+ab^{3}\frac{4!}{3!}+3ab^{2}c\frac{4!}{1*2*3}+$

$+3abc^{2}\frac{4!}{1*2*3}+ac^{3}\frac{4!}{3!}+$

$b^{4}+b^{3}c\frac{4!}{3!}+b^{2}c^{2}\frac{4!}{2!2!}+bc^{3}\frac{4!}{3!}+c^{4}=$

$=a^{4}+b^{4}+c^{4}+4(a^{3}b+a^{3}c+b^{3}c)+$

$6(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})+4(b^{3}a+c^{3}a+ c^{3}b)+$

$12(a^{2}bc+b^{2}ac+c^{2}ab).$

Список литературы:

• Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.
• В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.5.

Тест "Бином Ньютона"

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тестовые вопросы по вышеизложенной теме.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 1

   Доказательство Бинома Ньютона проводится методом:

   • математической индукции
   • дедукции
   • от противного
   • приведение к определению
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 1

   С помощью Бинома Ньютона можно преобразовать выражения:

   • $$a!b!$$
   • $$\sum_{i=0}^{7}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$$
   • $$(a+b)^{11}$$
   • $$f(x)'$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 1

   Укажите формулу для сочетаний из n элементов по k

   • $$(n+k)/2$$
   • $$n*k!$$
   • $$\frac{n!}{k!(n-k)!}$$
   • $$\frac{n!}{k!(n-k+i)!}$$
   Правильно
   

   Неправильно