Ограниченное сверху числовое множество имеет бесконечно много верхних границ, среди которых особенную роль играет найменьшая из них. Число $latex M$ называется точной верхней гранью (границей), если:
$latex 1)$ для $latex \forall x \in X: x \leq M;$
$latex 2)$ для $latex \forall {M}'<M: \exists {x}’ \in X:{x}’>{M}’;$ (любое число меньшее M верхней гранью не является).
$latex M=\sup X$ ($latex M$ — супремум $latex X$).
Число $latex M$ называется точной нижней гранью (границей), если:
$latex 1)$ для $latex \forall x \in X: x \geq M;$
$latex 2)$ для $latex \forall {M}’>M: \exists {x}’ \in X:{x}'<{M}’;$ (любое число меньшее M верхней гранью не является).
$latex M=\inf X$ ($latex M$ — инфимум $latex X$).
(если множество $latex X$ неограничено сверху, то пишем $latex \sup{X}=+\infty;$ если множество $latex X$ неограничено снизу, то пишем $latex \sup{X}=-\infty.$)
Примечание: если $latex M$ не является точной верхней гранью множества $latex X$ и $latex \forall x \in X : x \leq M$, тогда $latex \exists {M}'<M : \forall {x}’ \in X : {x}’>{M}’;$
если $latex M$ не является точной нижней гранью множества $latex X$ и $latex \forall x \in X : x \geq M$, тогда $latex \exists {M}’>M : \forall {x}’ \in X : {x}'<{M}’.$
Примеры:
$latex 1) X=[1;2) :$
$latex \sup X=2 \notin X;$ $latex \inf X=1.$
$latex 2) X=\left\{\frac{1}{2};\frac{1}{2^{2}};\frac{1}{2^{3}};…\right\};$
$latex \sup X=\max X=\frac{1}{2} \in X;$
$latex \inf X=0 \notin X.$
Единственность верхних и нижних точных граней
Если множество имеет $latex \sup$ и $latex \inf$, то он единственный.
$latex \square$ Рассмотрим для $latex \sup$.
Пусть множество $latex X$ имеет 2 точных верхних грани: $latex M_{1}$ и $latex M_{2}.$
Допустим $latex M_{1}<M_{2}$.
Так как $latex M_{1}<M_{2}$ и $latex M_{2}=\sup{X}$, то $latex \exists {x}’ \in X: {x}’>M_{1}$, что противоречит тому факту, что $latex M_{1}=\sup{X}.$ $latex \blacksquare$
Аналогично доказывается единственность нижней точной грани.
Практические задания:
$latex 1)$ Определить точные нижнюю и верхнюю грани множества рациональных чисел $latex r$, удовлетворяющих равенству $latex r^{2}<2$.
Решим неравенство $latex r^{2}$.
$latex x \in \left (-\sqrt{2}; \sqrt{2} \right )$
$latex \sup r= \sqrt{2}$ Докажем это:
$latex 1) \forall x \in r: x \leq \sqrt{2}$. Так и есть, $latex \sqrt{2}$ является верхней границей множества $latex r$.
$latex 2) \forall {M}'< \sqrt{2} : \exists {x}’ \in r:{x}’>{M}’$;
Действительно, всякие рациональные $latex x< \sqrt{2}$ (и при этом $latex x> -\sqrt{2}$) будут элементами множества $latex r$, причём $latex \forall \epsilon : \exists x \in r : \sqrt{2} — x< \epsilon$. То есть какое бы рациональное число из $latex r$ мы не взяли, можно взять рациональное число из $latex r$ так, что оно будет находиться ближе к $latex \sqrt{2}$ на числовой прямой.
$latex 2)$ Пусть $latex \left \{ -x\right \}$ — множество чисел, противоположных числам $latex x \in \left \{x \right \}.$
Доказать, что $latex \inf \left \{-x \right \}= \sup\left \{x \right \}.$
$latex \square$ Пусть $latex (-x)$ — элемент из множества $latex \left \{-x \right \} $ противоположный элементу $latex x$ из множества $latex \left \{x \right \}$.
Распишем точную нижнюю грань для множества $latex \left \{-x \right \} $ по определению:
$latex 1)$ $latex \forall (-x) \in \left \{-x \right \}: (-x) \geq M;$ $latex \Rightarrow$ $latex \forall x \in \left \{ x \right \}: x \leq -M;$
$latex 2)$ $latex \forall {M}’>M: \exists (-{x}’) \in \left \{-x \right \} : (-{x}’)<{M}’ \Rightarrow$
$latex \Rightarrow \forall (-{M}’)<-M: \exists {x}’ \in \left \{ x \right \}: {x}’ > -{M}’$.
Получили:
$latex 1)$ $latex \forall x \in \left \{ x \right \}: x \leq -M;$
$latex 2)$ $latex \forall (-{M}’)<-M: \exists {x}’ \in \left \{ x \right \}: {x}’ > -{M}’$.
Тоесть: $latex -M = \sup \left \{ x \right \}$ $latex \Rightarrow$ $latex M=- \sup \left \{ x \right \}$.
Так как $latex M= \inf \left \{-x \right \}$, $latex \inf \left \{-x \right \} = — \sup \left \{ x \right \}$. $latex \blacksquare$
Тест "Верхняя и нижняя грани множества"
Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.
Таблица лучших: Тест "Верхняя и нижняя грани множества"
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
Источники:
Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)
В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.7.
В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.44.
Б.П.Демидович «Сборник задач и упражнений по мат.анализу» (издание пятое) стр.12. №17, 19а.
Подробнее на: