Во многих случаях свести нахождение интеграла к табличному виду позволяет метод подстановки, который так же называют метод замены переменных. Основную идею метода составляет следующая теорема.
Теорема:
Пусть функция [latex]x = \varphi (t)[/latex] непрерывно дифференцируема на промежутке [latex]T[/latex], а на промежутку [latex]X[/latex] такой, что [latex]\forall t \in T[/latex], [latex]x = \varphi (t) \in X[/latex] определена непрерывная функция [latex]f(x).[/latex] Тогда,
$latex \int {f(x)dx}=$ $latex \int {f(\varphi (t))\varphi ‘} (t)dt$
Практическая польза формулы замены переменной состоит в том, что когда вы затрудняетесь взять интеграл, вы делаете замену [latex]u=g(x)[/latex], т.е. обозначаете некоторое выражение [latex]g(x)[/latex], входящее в подынтегральнyю функцию, новой буквой [latex]u[/latex], и затем преобразуете интеграл под формулу замены. Хотя формула справедлива для любой замены (удовлетворяющей условия теоремы), задача состоит в подборе такой, которая приводит к табличному интегралу (или нескольким табличным интегралам). Такую замену будем называть хорошей. Вообще говоря, подбор хорошей замены не всегда очевиден. Если одна замена не сработала, не отчаивайтесь, а пробуйте другую.
Пример 1:
$latex \int {\rm ctg} xdx =$ $latex \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}}dx =$ $latex \left|\begin{array}{l}t = \sin x;\\dt = \cos xdx.\end{array} \right| =$ $latex \int {\frac{{dt}}{t}} =$ $latex \ln |t| + C =$ $latex \ln \left| {\sin x} \right| + C.$
Пример 2:
$latex \int {\rm tg} xdx =$ $latex \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}dx =$ $latex \left| \begin{array}{l}t = \cos x;\\dt = — \sin xdx.\end{array} \right| =$ $latex \int {\frac{{dt}}{t}} =$ $latex \ln |t| + C =$ $latex — \ln \left| {\cos x} \right| + C.$
Литература
- Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу ч. 1.(стр. 55-56).
- Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу.
- Онлайн лекции С.А. Лавриченко
- Высшая математика – просто и доступно!