Метод подстановки

Во многих случаях свести нахождение интеграла к табличному виду позволяет метод подстановки, который так же называют метод замены переменных. Основную идею метода составляет следующая теорема.

Теорема:

Пусть функция $x = \varphi (t)$ непрерывно дифференцируема на промежутке $T$, а на промежутку $X$ такой, что $\forall t \in T$, $x = \varphi (t) \in X$ определена непрерывная функция $f(x).$ Тогда,

$\int {f(x)dx}=$ $\int {f(\varphi (t))\varphi ‘} (t)dt$

Практическая польза формулы замены переменной состоит в том, что когда вы затрудняетесь взять интеграл, вы делаете замену $u=g(x)$, т.е. обозначаете некоторое выражение $g(x)$, входящее в подынтегральнyю функцию, новой буквой $u$, и затем преобразуете интеграл под формулу замены. Хотя формула справедлива для любой замены (удовлетворяющей условия теоремы), задача состоит в подборе такой, которая приводит к табличному интегралу (или нескольким табличным интегралам). Такую замену будем называть хорошей. Вообще говоря, подбор хорошей замены не всегда очевиден. Если одна замена не сработала, не отчаивайтесь, а пробуйте другую.

Пример 1:

$\int {\rm ctg} xdx =$ $\int {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}}dx =$ $\left|\begin{array}{l}t = \sin x;\\dt = \cos xdx.\end{array} \right| =$ $\int {\frac{{dt}}{t}} =$ $\ln |t| + C =$ $\ln \left| {\sin x} \right| + C.$ 

Пример 2:

$\int {\rm tg} xdx =$ $\int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}dx =$ $\left| \begin{array}{l}t = \cos x;\\dt = — \sin xdx.\end{array} \right| =$ $\int {\frac{{dt}}{t}} =$ $\ln |t| + C =$ $— \ln \left| {\cos x} \right| + C.$ 

Литература

• Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу  ч. 1.(стр. 55-56).
• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу.
• Онлайн лекции С.А. Лавриченко
• Высшая математика – просто и доступно!