Метод математической индукции

Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства: если требуется доказать истинность утверждения P(n), \forall n \in \mathbb{N}, то сначала проверяют данное утверждение для некоторого натурально числа n_0 , обычно n_0=1, а потом допускают истинность выражения P(k). Далее доказывают истинность утверждения P(k+1).

Упражнение:

Доказательство одноцветности всех лошадей — ошибочное доказательство, что все лошади одного цвета, придуманное венгерским математиком Пойа. Доказательство призвано продемонстрировать ошибки, возникающие при неправильном использовании метода математической индукции.

Доказываемое утверждение: все лошади одного цвета.

Доказательство:

Проведем доказательство по индукции.

База индукции:

Одна лошадь, очевидно, одного (одинакового) цвета.
Шаг индукции:
Пусть доказано, что любые K лошадей всегда одного цвета. Рассмотрим K+1  каких-то лошадей. Уберем одну лошадь. Оставшиеся K  лошадей одного цвета по предположению индукции. Возвратим убранную лошадь и уберем какую-то другую. Оставшиеся K  лошадей снова будут одного цвета. Значит, все K+1 лошадей одного цвета.

Отсюда следует, что все лошади одного цвета. Утверждение доказано.

В чем ошибка?
Решение

... показать

Пример:

1) Доказать равенство: 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, n\in \mathbb{N}.

\square 1)  1^{2}=\frac{1(1+1)(2+1)}{6}=1.

2) Пусть данное утверждение верно для n=k:   1^{2}+\cdots+k^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.

3) Докажем истинность утверждения для n=k+1.

\overbrace{1^{2}+2^{2}+\cdots+k^{2}}^{\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}}+(k+1)^{2}=

\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}

\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2}=

\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}

\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^{2}}{6}=

\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}

k(2k^{2}+k+2k+1)+6(k^{2}+2k+1)=

(k+1)(2k^{2}+3k+4k+6)

 2k^{3}+3k^{2}+k+6k^{2}+12k+6=

2k^{3}+7k^{2}+6k+2k^{2}+7k+6

2k^{3}+9k^{2}+13k+6=

2k^{3}+9k^{2}+13k+6.   \blacksquare

2) Доказать, что для всех натуральных чисел n справедливо неравенство n \leq 2^{n}.

\square Для n=1 неравенство принимает вид 1 \leq 2, т.е. оно справедливо.

Предположим, требуемое неравенство имеет место при некотором n=k и покажем, что оно же справедливо и для n=k+1.

Сложим предположение индукции k \leq 2^{k} с неравенством 1 \leq 2 \leq 2^{k}. Находим k+1 \leq 2^{k}+2^{k}=2^{k+1}, что и требовалось доказать. \blacksquare

Тест "Метод математической индукции"

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Таблица лучших: Тест "Метод математической индукции"

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список литературы:

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.
  • В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.4.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *