Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства: если требуется доказать истинность утверждения то сначала проверяют данное утверждение для некоторого натурально числа
, обычно
, а потом допускают истинность выражения
Далее доказывают истинность утверждения
Упражнение:
Доказательство одноцветности всех лошадей — ошибочное доказательство, что все лошади одного цвета, придуманное венгерским математиком Пойа. Доказательство призвано продемонстрировать ошибки, возникающие при неправильном использовании метода математической индукции.
Доказываемое утверждение: все лошади одного цвета.
Доказательство:
Проведем доказательство по индукции.
База индукции:
Одна лошадь, очевидно, одного (одинакового) цвета.
Шаг индукции:
Пусть доказано, что любые лошадей всегда одного цвета. Рассмотрим
каких-то лошадей. Уберем одну лошадь. Оставшиеся
лошадей одного цвета по предположению индукции. Возвратим убранную лошадь и уберем какую-то другую. Оставшиеся
лошадей снова будут одного цвета. Значит, все
лошадей одного цвета.
Отсюда следует, что все лошади одного цвета. Утверждение доказано.
В чем ошибка?
Решение
... | показать> |
---|---|
Пример:
Доказать равенство:
Пусть данное утверждение верно для
Докажем истинность утверждения для
Доказать, что для всех натуральных чисел
справедливо неравенство
.
Для
неравенство принимает вид
, т.е. оно справедливо.
Предположим, требуемое неравенство имеет место при некотором и покажем, что оно же справедливо и для
.
Сложим предположение индукции с неравенством
. Находим
, что и требовалось доказать.
Тест "Метод математической индукции"
Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.
Таблица лучших: Тест "Метод математической индукции"
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |
Список литературы:
- Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.
- В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.4.