Пусть функция [latex]f[/latex] определена на некотором промежутке. Совокупность всех ее первообразных на этом промежутке называется неопределённым интегралом от функции [latex]f[/latex] и обозначается $$\int f(x)dx.$$
Символ [latex]\int[/latex] называется знаком интеграла, а [latex]f(x)[/latex] —подынтегральной функцией.
Если [latex]F(x)[/latex] — какая-либо первообразная функции [latex]f[/latex] на рассматриваемом промежутке, то пишут
[latex]\int f(x)dx=F(x)+C[/latex],
где [latex]C[/latex] — произвольная постоянная.
Нахождение неопределённого интеграла. от заданной функции называют интегрированием.
Следует отметить, что всякое равенство, в обеих частях которого стоят неопределённые интегралы, есть равенство между множествами.
Под знаком интеграла пишут не саму функцию [latex]f[/latex], а ее произведение на дифференциал. Это делается, например, для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная.
Спойлер
[latex]\int x^2z dx=\frac{x^3z}{3}+C[/latex]
[свернуть]
Спойлер
[latex]\int x^2z dz=\frac{x^2z^2}{2}+C[/latex]
[свернуть]
Спойлер
[latex]\int \frac{3}{2} \sqrt{x} dx=x^\frac{3}{2}+C=x \sqrt{x}+C[/latex], [latex]x\in[0,\infty][/latex]
[свернуть]
[latex]\int x^2z dx=\frac{x^3z}{3}+C[/latex]
[latex]\int x^2z dz=\frac{x^2z^2}{2}+C[/latex]
Спойлер
[latex]\int \frac{3}{2} \sqrt{x} dx=x^\frac{3}{2}+C=x \sqrt{x}+C[/latex], [latex]x\in[0,\infty][/latex]
[свернуть]
[latex]\int \frac{3}{2} \sqrt{x} dx=x^\frac{3}{2}+C=x \sqrt{x}+C[/latex], [latex]x\in[0,\infty][/latex]
см. Таблица основных интегралов
Свойства неопределённого интеграла
Все рассматриваемые в этом пункте функции определены на некотором фиксированном промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex].
Если функция [latex]F[/latex] дифференцируема на некотором промежутке, то [latex]\int dF(x)=F(x)+C[/latex] или [latex]\int F'(x)dx=F(x)+C[/latex]. Это следует из определения первообразной.
Если [latex]\int f(x)dx=F(x)+C[/latex] и [latex]\int g(x)dx=G(x)+C[/latex], то [latex]\int [f(x)+g(x)]dx=F(x)+G(x)+C[/latex], или [latex]\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx[/latex] [latex](F(x)+G(x))’=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x).[/latex]
Действительно, при наших предположениях имеет место равенство
Если [latex]\int f(x)dx=F(x)+C[/latex], то для любого действительного числа [latex]\alpha\ne 0[/latex] [latex] \int[\alpha f(x)] dx=\alpha F(x)+C[/latex], или [latex]\int[\alpha f(x)] dx=\alpha \int f(x) dx[/latex] Это равенство очевидно следует из определения. Заметим, что при [latex]\alpha=0[/latex] оно не верно по той причине, что в левой части совокупность всех постоянных, а в правой — тождественный нуль.
Спойлер
Если [latex] \int f(t)dt=F(t)+C[/latex], то для любого [latex] a\ne 0[/latex] и для любого [latex]b[/latex]
[latex] \int f(ax+b)d=\frac{1}{a} F(ax+b)+C.[/latex]
Действительно,
[latex] [\frac{1}{a} F(ax+b)]’=\frac{1}{a} F'(ax+b)a=f(ax+b)[/latex].
[свернуть]
Спойлер
Если [latex]f[/latex] и [latex]g[/latex] имеют первообразные на промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex], а [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] — числа, то функция [latex]\alpha f+\beta g[/latex] также имеет первообразную на [latex]\bigtriangleup[/latex], причём при [latex]\alpha^2+\beta^2>0[/latex] выполняется равенство
[latex]\int(\alpha f(x)+\beta g(x)) dx=\alpha\int f(x)dx+\beta\int g(x)dx[/latex].
[свернуть]
Литература.
- Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012
- Зарубин В.С., интегральное исчисление функций одного переменного — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999., Стр. 16
- Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 454-455
- Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 456-458
- В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 158-159)
Тест.
Неопределённый интеграл и его свойства
Неопределённый интеграл и его свойства
Таблица лучших: Неопределённый интеграл и его свойства
максимум из 15 баллов
Место
Имя
Записано
Баллы
Результат
Таблица загружается
Если [latex] \int f(t)dt=F(t)+C[/latex], то для любого [latex] a\ne 0[/latex] и для любого [latex]b[/latex]
[latex] \int f(ax+b)d=\frac{1}{a} F(ax+b)+C.[/latex]
Действительно,
[latex] [\frac{1}{a} F(ax+b)]’=\frac{1}{a} F'(ax+b)a=f(ax+b)[/latex].
Если [latex]f[/latex] и [latex]g[/latex] имеют первообразные на промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex], а [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] — числа, то функция [latex]\alpha f+\beta g[/latex] также имеет первообразную на [latex]\bigtriangleup[/latex], причём при [latex]\alpha^2+\beta^2>0[/latex] выполняется равенство
[latex]\int(\alpha f(x)+\beta g(x)) dx=\alpha\int f(x)dx+\beta\int g(x)dx[/latex].
Литература.
- Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012
- Зарубин В.С., интегральное исчисление функций одного переменного — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999., Стр. 16
- Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 454-455
- Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 456-458
- В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 158-159)
Тест.
Неопределённый интеграл и его свойства
Неопределённый интеграл и его свойства
Таблица лучших: Неопределённый интеграл и его свойства
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||