Определение

Если  интегрируема в промежутке , то она интегрируема и в промежутке , причем

$$\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int}}f(x)dx$$

Пример

Вычислить определённый интеграл .

Преобразуем интеграл и затем применим свойство линейности интеграла.

$\underset{4}{\overset{-2}{\int}}(8+2x-x^{2})dx=\underset{-2}{\overset{4}{\int}}(8+2x-x^{2})dx=8\underset{-2}{\overset{4}{\int}}dx+2\underset{-2}{\overset{4}{\int}}xdx-\underset{-2}{\overset{4}{\int}}x^{2}dx=$$=8x|_{-2}^{4}+2\cdot \frac{1}{2}(x^{2})|_{-2}^{4}-\frac{1}{3}(x^{3})|_{-2}^{4}=48+12-24=36$.

Свойство 1

Если функция интегрируема на отрезке , то она интегрируема на произвольном отрезке .

Доказательство	^Cпоказать
Рассмотрим произвольное разбиение отрезка .  Добавив к нему  и , мы получим разбиение   отрезка  . По условию интегрируемости  получим : $$0\leq \sum_{x_{k}\in \tau_{\left [ \alpha ,\beta \right ]}}^{n}\omega _{k}\Delta x_{k}\leq \sum_{x_{k}\in \tau \left [ a ,b \right ]}\omega _{k}\Delta x_{k}\rightarrow 0$$, когда диаметр разбиения стремится к нулю. Этот факт и доказывает наше свойство.

Пример

 Ранее мы уже показали, что функция $f(x)=8+2x-x^{2}$ интегрируема на отрезке . Согласно первому свойству она также интегрируема на промежутке .

$\underset{0}{\overset{2}{\int}}(8+2x-x^{2})dx=8\underset{0}{\overset{2}{\int}}dx+2\underset{0}{\overset{2}{\int}}xdx-\underset{0}{\overset{2}{\int}}x^{2}dx=$$=8x|_{0}^{2}+2\cdot \frac{1}{2}(x^{2})|_{0}^{2}-\frac{1}{3}(x^{3})|_{0}^{2}=\frac{52}{3}$

Свойство 2 (аддитивность интеграла)

Если функция  интегрируема на отрезках   и , то она также интегрируема на отрезке и имеет место равенство

$$\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int}}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int}}f(x)dx$$.

Доказательство

^Cпоказать

Пусть функция интегрируема в промежутке . Интегрируемость функции в промежутках и , следует из Свойства 1. Рассмотрим разбиение промежутка   на части , причем точку   будем считать одной из точек деления. Составив интегральную сумму, будем иметь $$\sum_{a}^{b}f(\xi )\Delta x=\sum_{a}^{c}f(\xi )\Delta x + \sum_{c}^{b}f(\xi )\Delta x$$ Каждая из этих сумм имеет предел, который равен соответствующему  интегралу для любых точек $$\xi _{k}\in \left [ x_{k},x_{k-1} \right ],(k=1,2,\dots,n)$$, когда диаметр разбиения стремится к нулю. Т.е. $$\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int}}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int}}f(x)dx$$

Пример

Снова возьмём функцию $f(x)=8+2x-x^{2}$ и рассмотрим значения интеграла на промежутках  и .

$\underset{-2}{\overset{1}{\int}}(8+2x-x^{2})dx=8\underset{-2}{\overset{1}{\int}}dx+2\underset{-2}{\overset{1}{\int}}xdx-\underset{-2}{\overset{1}{\int}}x^{2}dx=$$=8x|_{-2}^{1}+2\cdot \frac{1}{2}(x^{2})|_{-2}^{1}-\frac{1}{3}(x^{3})|_{-2}^{1}=18$

$\underset{1}{\overset{4}{\int}}(8+2x-x^{2})dx=8\underset{1}{\overset{4}{\int}}dx+2\underset{1}{\overset{4}{\int}}xdx-\underset{1}{\overset{4}{\int}}x^{2}dx=$$=8x|_{1}^{4}+2\cdot \frac{1}{2}(x^{2})|_{1}^{4}-\frac{1}{3}(x^{3})|_{1}^{4}=18$

Т.е. $$\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int}}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int}}f(x)dx$$.

Литература

• Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу, Часть 1(3)
• Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.II. — М.: Наука, 1970.- 800 с. стр. 302

Свойства определенного интеграла, связанные с отрезками интегрирования

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 2 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2

Информация

Начало теста

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 2

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. История 0%
3. Математический анализ 0%

• Конец теста

максимум из 2 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 2

   1.

   Количество баллов: 1

   Что такое численное интегрирование?

   • Нахождение производной
   • Вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое).
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 2

   2.

   Количество баллов: 1

   Если $ f\in \mathbb{R}[a,b] $ и $ f\in C[a,b] $, то $\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx$ ? $\underset{a}{\overset{c}{\int}}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int}}f(x)dx $

    

   • $ < $
   • $ > $
   • $ = $
   • $ \leq $
   • $ \geq $
   • $ \neq $
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка

   Выберите знак, который должен стоять на месте «?»