Определение
Если интегрируема в промежутке
, то она интегрируема и в промежутке
, причем
$$\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int}}f(x)dx$$
Пример
Вычислить определённый интеграл .
Преобразуем интеграл и затем применим свойство линейности интеграла.
$\underset{4}{\overset{-2}{\int}}(8+2x-x^{2})dx=\underset{-2}{\overset{4}{\int}}(8+2x-x^{2})dx=8\underset{-2}{\overset{4}{\int}}dx+2\underset{-2}{\overset{4}{\int}}xdx-\underset{-2}{\overset{4}{\int}}x^{2}dx=$$=8x|_{-2}^{4}+2\cdot \frac{1}{2}(x^{2})|_{-2}^{4}-\frac{1}{3}(x^{3})|_{-2}^{4}=48+12-24=36$.
Свойство 1
Если функция интегрируема на отрезке
, то она интегрируема на произвольном отрезке
.
Доказательство | показать> |
---|---|
Пример
Ранее мы уже показали, что функция $f(x)=8+2x-x^{2}$ интегрируема на отрезке . Согласно первому свойству она также интегрируема на промежутке
.
$\underset{0}{\overset{2}{\int}}(8+2x-x^{2})dx=8\underset{0}{\overset{2}{\int}}dx+2\underset{0}{\overset{2}{\int}}xdx-\underset{0}{\overset{2}{\int}}x^{2}dx=$$=8x|_{0}^{2}+2\cdot \frac{1}{2}(x^{2})|_{0}^{2}-\frac{1}{3}(x^{3})|_{0}^{2}=\frac{52}{3}$
Свойство 2 (аддитивность интеграла)
Если функция интегрируема на отрезках
и
, то она также интегрируема на отрезке
и имеет место равенство
$$\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int}}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int}}f(x)dx$$.
Доказательство | показать> |
---|---|
Пример
Снова возьмём функцию $f(x)=8+2x-x^{2}$ и рассмотрим значения интеграла на промежутках и
.
$\underset{-2}{\overset{1}{\int}}(8+2x-x^{2})dx=8\underset{-2}{\overset{1}{\int}}dx+2\underset{-2}{\overset{1}{\int}}xdx-\underset{-2}{\overset{1}{\int}}x^{2}dx=$$=8x|_{-2}^{1}+2\cdot \frac{1}{2}(x^{2})|_{-2}^{1}-\frac{1}{3}(x^{3})|_{-2}^{1}=18$
$\underset{1}{\overset{4}{\int}}(8+2x-x^{2})dx=8\underset{1}{\overset{4}{\int}}dx+2\underset{1}{\overset{4}{\int}}xdx-\underset{1}{\overset{4}{\int}}x^{2}dx=$$=8x|_{1}^{4}+2\cdot \frac{1}{2}(x^{2})|_{1}^{4}-\frac{1}{3}(x^{3})|_{1}^{4}=18$
Т.е. $$\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int}}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int}}f(x)dx$$.
Литература
- Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу, Часть 1(3)
- Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.II. — М.: Наука, 1970.- 800 с. стр. 302
Начало тестаСвойства определенного интеграла, связанные с отрезками интегрирования