Односторонние и бесконечные производные

Понятия односторонних и бесконечных производных вводятся аналогично понятиям односторонних и бесконечных пределов.

Определение: Если функция [latex]y = f(x)[/latex], непрерывна слева в точке [latex]x_{0}[/latex], то есть [latex]\lim\limits_{x \to x_{0} — 0} f(x) = f(x_{0})[/latex] и [latex]\exists \lim\limits_{\Delta x \to -0} \frac{\Delta y}{\Delta x}[/latex], то этот предел называют левой производной функции [latex]y[/latex] в точке [latex]x_{0}[/latex].
Левая производна кратко записывается [latex]{f_{-}}'(x_{0})[/latex].

Определение: Если функция [latex]y = f(x)[/latex], непрерывна справа в точке [latex]x_{0}[/latex], то есть [latex]\lim\limits_{x \to x_{0} + 0} f(x) = f(x_{0})[/latex] и [latex]\exists \lim\limits_{\Delta x \to +0} \frac{\Delta y}{\Delta x}[/latex], то этот предел называют правой производной функции [latex]y[/latex] в точке [latex]x_{0}[/latex].
Правая производна кратко записывается [latex]{f_{+}}'(x_{0})[/latex].

Определение: Прямая проходящая через точку [latex](x_{0}, f(x_{0}))[/latex], с угловым коэффициентом [latex]{f_{-}}'(x_{0})[/latex], называется левой касательной к графику функции [latex]y[/latex] в точке [latex](x_{0}, f(x_{0}))[/latex].

Определение: Прямая проходящая через точку [latex](x_{0}, f(x_{0}))[/latex], с угловым коэффициентом [latex]{f_{+}}'(x_{0})[/latex], называется правой касательной к графику функции [latex]y[/latex] в точке [latex](x_{0}, f(x_{0}))[/latex].

Определение: Если функция [latex]y=f(x)[/latex], непрерывна в точке [latex]x_{0}[/latex] и [latex]\exists \lim\limits_{\Delta x \to 0} = \pm \infty[/latex], тогда производная [latex]{f}'(x_{0})[/latex] называется бесконечной производной.

Замечание: Геометрическое истолкование производной как углового коэффициента касательной распространяется и на случай бесконечной производной; но здесь — касательная оказывается параллельной оси [latex]Oy[/latex]. В случаях a и b эта производная равна, соответственно, [latex]+\infty[/latex] и [latex]-\infty[/latex] (обе односторонние производные совпадают по знаку); в случаях c и d односторонние производные разнятся знаком.

Тест:

Односторонние и бесконечные производные.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест проверки усвоения информации об односторонних и бесконечных производных.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 10 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Найдите правостороннюю производную функции [latex]y = x^{\frac{2}{3}}[/latex] в точке 0.

   • $${y}'_{+}(0) = 0$$
   • $${y}'_{+}(0) = +\infty$$
   • $${y}'_{+}(0) = -\infty$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   
   Найдите левостороннюю и правостороннюю производные функции [latex]y = |x|[/latex].

   • $${y}'_{+}(x) = 1$$
   • $${y}'_{-}(x) = 1$$
   • $${y}'_{-}(x) = -1$$
   • $${y}'_{+}(x) = -1$$
   Правильно 2 / 2Баллы

   Неправильно / 2 Баллы
3. Задание 3 из 4

   3.

   
   Найдите левостороннюю касательную к графику функции [latex]y = \sqrt x[/latex] в точке [latex]x_{0}=0[/latex].

   • $$y_{касательная}=2x-1$$
   • Такой касательной не существует.
   • $$y_{касательная}=0$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Расположите разносторонние производные функций в порядке возрастания.

   • $$(x^{\frac{2}{3}})'_{-}, x_{0}=0$$
   • $$|{x}|'_{-}, x_{0}=0$$
   • $$|{x}|'_{+}, x_{0}=0$$
   • $$(x^{\frac{2}{3}})'_{+}, x_{0}=0$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Список литературы:

• Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 110-111.
• Лекции Зои Михайловны Лысенко.