Определение первообразной

Функция [latex]F[/latex] называется первообразной функцией функции [latex]f[/latex] на промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex], если [latex]F[/latex] дифференцируема на [latex]\bigtriangleup[/latex] и в каждой точке этого промежутка производная функции [latex]F[/latex] равна значению функции [latex]f[/latex]:

[latex]F'(x)-f(x)[/latex], [latex]x\in\bigtriangleup[/latex]

При этом если некоторый конец промежутка [latex]\bigtriangleup[/latex] принадлежит промежутку , то под производной в этом конце понимается соответствующая односторонняя производная. Функция, имеющая в данной точке производную , непрерывна в этой точке , поэтому первообразная [latex]F[/latex] функции [latex]f[/latex] непрерывна на промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex].

Примеры

1. Функция [latex]F(x)=\frac{x^3}{3}[/latex] является первообразной функции [latex]f(x)=x^2[/latex] на всей числовой оси.
2. [latex]f(x)=\frac{1}{7-3x}[/latex]     [latex]F(x)=-\frac{1}{3}ln|7-3x|+C[/latex]

Решите самостоятельно

[latex]f(x)=3x^2[/latex]

[latex]f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}[/latex], при [latex]x>0[/latex]

[latex]f(x)=-\frac{1}{x^2}[/latex], при [latex]x\ne0[/latex]

[latex]f(x)=cos(x)[/latex]

Ниже приведены графики функции [latex]f(x)=cos(x)[/latex](красный цвет) и ее первообразной [latex]F(x)=sin(x)[/latex](зеленый цвет) при значении произвольной постоянной [latex]C=0[/latex].

Литература

1. Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012
2. Зарубин В.С., Интегральное исчисление функций одного переменного. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,1999, Стр. 14
3. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа, 2003. — М.: Дрофа, Т.1. Стр. 453-454

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Определение первообразной

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 4

   Первообразной функции [latex]f(x)=cos(x)[/latex] будет функция
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 4

   У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на

   • постоянную.
   • произведение этих двух первообразных.
   • интеграл от суммы самих функций.
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Сколько первообразных имеет функция?

   • одну
   • две
   • бесконечное множество
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   Вставьте пропущенное слово

   Всякая … в некотором промежутке функция имеет первообразную в этом промежутке.