Критерии интегрируемости по Риману в терминах сумм Дарбу


Теорема (критерий интегрируемости по Риману).

Пусть функция f ограничена на отрезке \left[ {a,b} \right]. Для того чтобы f была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство \mathop {\lim }\limits_{d\left( \Pi  \right) \to 0} \left( {{{\overline S }_\Pi } - {{\underline S }_\Pi }} \right) = 0. Это равенство означает, что для любого положительного \varepsilon найдется такое положительное \delta , что для каждого разбиения \Pi , диаметр которого d\left( \Pi  \right) < \delta , справедливо неравенство {\overline S _\Pi } - {\underline S _\Pi } < \varepsilon .

Доказательство. Необходимость. Пусть функция f интегрируема, т. е. существует конечный I \equiv \mathop {\lim }\limits_{d\left( \Pi  \right) \to 0} \sigma . Это означает, что для любого \varepsilon  > 0 найдется такое \delta  > 0, что для любого разбиения \Pi с d\left( \Pi  \right) < \delta и при любом выборе промежуточных точек {\xi _i} выполнено неравенство \left| {\sigma  - I} \right| < \varepsilon . Это неравенство можно переписать так: I - \varepsilon  < \delta  < I + \varepsilon . Зафиксируем произвольное разбиение \Pi с d\left( \Pi  \right) < \delta . Поскольку {\overline S _\Pi } – верхняя грань множества всех интегральных сумм \sigma , соответствующих разбиению \Pi , и \sigma  < I + \varepsilon , то {\overline S _\Pi } \le I + \varepsilon . Аналогично получаем {\underline S _\Pi } \ge I - \varepsilon . Таким образом, I - \varepsilon  \le {\underline S _\Pi } \le {\overline S _\Pi } \le I + \varepsilon . Отсюда следует, что {\overline S _\Pi } - {\underline S _\Pi } \le 2\varepsilon , если только d\left( \Pi  \right) < \delta .

Достаточность. Заметим, что для любого разбиения \Pi справедливо неравенство {\underline S _\Pi } \le \underline I  \le \overline I  \le {\overline S _\Pi }. Поскольку, по условию, {\overline S _\Pi } - {\underline S _\Pi } \to 0 при d\left( \Pi  \right) \to 0, то \overline I  = \underline I . Обозначим их общее значение через I. Тогда получим, что для любого разбиения \Pi имеет место неравенство {\underline S _\Pi } \le I \le {\overline S _\Pi }. Но и каждая интегральная сумма \sigma , отвечающая разбиению \Pi , также удовлетворяет неравенству {\underline S _\Pi } \le \sigma  \le {\overline S _\Pi }. Отсюда следует, что \left| {\sigma  - I} \right| \le {\overline S _\Pi } - {\underline S _\Pi }. Поскольку правая часть последнего неравенства стремится к нулю при d\left( \Pi  \right) \to 0, то получаем \mathop {\lim }\limits_{d\left( \Pi  \right) \to 0} \sigma  = I.\blacksquare
Замечание. Из доказательства необходимости видно, что для интегрируемой функции ее верхняя и нижняя суммы Дарбу стремятся к интегралу от функции при стремлении к нулю диаметра разбиения.

Литература

  • В. И. Коляда, А. А. Кореновский Курс лекций по математическому анализу. Часть 1, Одесса, Астропринт, 2009 [стр. 184-185]

 

Тест

Этот тест служит проверкой на понимание хода доказательства данной теоремы.

Таблица лучших: Критерий интегрируемости

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *