Теорема (критерий интегрируемости по Риману).
Пусть функция ограничена на отрезке . Для того чтобы была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство . Это равенство означает, что для любого положительного найдется такое положительное , что для каждого разбиения , диаметр которого , справедливо неравенство .
Доказательство. Необходимость. Пусть функция интегрируема, т. е. существует конечный . Это означает, что для любого найдется такое , что для любого разбиения с и при любом выборе промежуточных точек выполнено неравенство . Это неравенство можно переписать так: . Зафиксируем произвольное разбиение с . Поскольку – верхняя грань множества всех интегральных сумм , соответствующих разбиению , и , то . Аналогично получаем . Таким образом, . Отсюда следует, что , если только .
Достаточность. Заметим, что для любого разбиения справедливо неравенство . Поскольку, по условию, при , то . Обозначим их общее значение через . Тогда получим, что для любого разбиения имеет место неравенство . Но и каждая интегральная сумма , отвечающая разбиению , также удовлетворяет неравенству . Отсюда следует, что . Поскольку правая часть последнего неравенства стремится к нулю при , то получаем .
Замечание. Из доказательства необходимости видно, что для интегрируемой функции ее верхняя и нижняя суммы Дарбу стремятся к интегралу от функции при стремлении к нулю диаметра разбиения.
Литература
- В. И. Коляда, А. А. Кореновский Курс лекций по математическому анализу. Часть 1, Одесса, Астропринт, 2009 [стр. 184-185]
Тест
Этот тест служит проверкой на понимание хода доказательства данной теоремы.
Таблица лучших: Критерий интегрируемости
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |