Суммы Дарбу и их свойства

Существенное продвижение в теории определенного интеграла принадлежит Г. Дарбу, который ввел в рассмотрение наряду с интегральной суммой Римана верхнюю и нижнюю суммы (впоследствии названные суммами Дарбу).

Суммы Дарбу

Итак, пусть функция [latex]f\left(x\right)[/latex] — ограничена на [latex]\left[a;b\right][/latex] и существует разбиение этого отрезка [latex]T=\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{n}[/latex]. Это значит, что [latex]f[/latex] — ограничена на любом [latex]\triangle _{i}=\left[x_{i-1};x_{i}\right],[/latex] [latex]i =\overline{1,n}[/latex]. Отсюда, по второй теореме Вейtрштрасса, [latex]\exists M_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\sup f(x)},[/latex] [latex]\exists m_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\inf f(x)},[/latex] [latex] i=\overline{1,n}[/latex].

Итак, пусть мы выбрали какое-то конкретное разбиение отрезка  [latex][a;b][/latex] на n частей. Теперь выберем на каждой из этих частей промежуточные точки [latex]\xi _{i}[/latex] так, чтобы сумма площадей получившихся прямоугольников была минимальной. (см. задачу о вычислении площади криволинейной трапеции)

Построим интегральную сумму следующим способом: на каждом интервале [latex]\triangle _{i}[/latex] разбиения T точку [latex]\xi _{i}[/latex] будем выбирать так, чтобы получался прямоугольник минимальной площади, т.е. чтобы высота [latex]f\left(\xi _{i}\right)[/latex] была наименьшей. Наименьшую высоту нам как раз и даст операция [latex]\inf f(x)[/latex]: [latex]m_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\inf f(x)}.[/latex] Интегральная сумма, построенная на таких прямоугольниках, очевидно, есть самая маленькая из всевозможных сумм, получаемых на данном разбиении. Эта сумма называется нижней суммой Дарбу.

Точно так же можно построить и наибольшую для данного разбиения сумму: на каждом из интервалов [latex]\triangle _{i}[/latex] разбиения T мы выбираем точку [latex]\xi _{i}[/latex] так, чтобы значение [latex]f\left(\xi _{i}\right)[/latex] было максимальным: [latex]M_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\sup f\left(x\right)}[/latex]. Этим значениям соответствует интегральная сумма, называемая верхней суммой Дарбу. Теперь дадим более строгое определение.


Определение

[latex]\underbrace{S_{T}=\sum_{i=1}^{n}M_{i}\triangle x_{i}}[/latex] — верхняя сумма Дарбу

[latex]\underbrace{s_{T}=\sum_{i=1}^{n}m_{i}\triangle x_{i}}[/latex] — нижняя сумма Дарбу


Замечание

Суммы Дарбу зависят от разбиения T и не зависят от выбора промежуточных точек [latex]\xi _{i}.[/latex]

Свойства сумм Дарбу

Свойство [latex]1^{\circ}[/latex]. 

Для любой выборки [latex]\xi =\left \{ \xi _{i} \right \}_{i=1}^{n}[/latex] и разбиения [latex]T=\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{n}[/latex] справедливы неравенства: [latex]s_{T}\leq \sigma _{T}\left(\xi ,f\right)\leq S_{T}[/latex].  (*)

Спойлер

[latex]\square[/latex] Так как [latex]\forall\xi _{i}\in \triangle _{i} [/latex] выполняются неравенства [latex]m_{i}\leq f\left(\xi _{i}\right)\leq M_{i}[/latex]. Домножим все части на [latex]\triangle x_{i}[/latex].

[latex]m_{i}\triangle x_{i}\leq f\left(\xi _{i}\right)\triangle x_{i}\leq M_{i}\triangle x_{i},i=\overline{1,n}[/latex]

Перейдя к сумме в каждой части неравенства, получаем:

[latex]\underset{s_{T}}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n}m_{i}\triangle x_{i}}}\leq\underset{\sigma _{T}}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n}f\left(\xi _{i}\right)\triangle x_{i}}}\leq \underset{S_{T}}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n}M_{i}\triangle x_{i}}}[/latex] (**)

Вывод: согласно определению сумм Дарбу и интегральной суммы [latex]\sigma _{T}[/latex] утверждения (*) и (**) равносильны.[latex]\blacksquare [/latex]

[свернуть]

 

Свойство [latex]2^{\circ}[/latex].

При T — фиксированном, справедливы равенства: [latex]S_{T}=\sup \sigma _{T}\left(\xi ,f\right),[/latex] [latex]s_{T}=\inf \sigma_{T}\left(\xi ,f\right)[/latex].

Спойлер

[latex]\square [/latex]  Докажем первое равенство. Необходимо показать, что [latex]S_{T}[/latex] — минимальный предел верхних границ для интегральной суммы (см. опр. точной верхней и нижней границ множества). Т.е. нужно показать следующее: [latex]\forall \varepsilon > 0 \exists {\xi }'[/latex]: [latex]S_{T}-\varepsilon < \sigma _{T}\left({\xi }’,f\right)[/latex].  (*)

Т.к. [latex]M_{i}=\underset{x\in \triangle_{i}}{\sup f\left(x\right)}[/latex], то

[latex]\forall \varepsilon > o \ \exists\ {\xi }’_{i}\in \triangle _{i}[/latex]:

[latex]M_{i}-\frac{\varepsilon }{b-a}< f\left({\xi _{i}}’\right)[/latex]

[latex]0<M_{i}-f\left({\xi _{i}}’\right)< \frac{\varepsilon }{b-a}, i=\overline{1,n}[/latex]

Домножим на [latex]\triangle x_{i}[/latex]:

[latex]0\leq M_{i}\triangle x_{i}-f\left({\xi _{i}}’\right)\triangle x_{i}< \frac{\varepsilon}{b-a}\triangle x_{i}[/latex]

Просуммируем i- ые элементы:

[latex]0\leq\underset{S_{T}}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n} M_{i}\triangle x_{i}}}-\underset{\sigma _{T}\left({\xi _{i}}’,f\right)}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n}f\left({\xi _{i}}’\right)\triangle x_{i}}}<[/latex][latex]\underset{\varepsilon }{\underbrace{\sum_{i=1}^{n} \frac{\varepsilon }{b-a}\triangle x_{i}}}[/latex]

[latex]0\leq S_{T}-\sigma _{T}\left({\xi }’,f\right)< \varepsilon [/latex] (**)

Неравенства (*) и (**) равносильны.

Вывод: получили, что [latex]S_{T}[/latex]  — минимальный предел верхних границ для интегральной суммы [latex]\Rightarrow S_{T}=\sup \sigma _{T}\left(\xi ,f\right)[/latex].

Аналогично доказывается второе утверждение.[latex]\blacksquare [/latex]

[свернуть]

 Определение

Назовём разбиение [latex]T_{2}[/latex] продолжением (измельчением) разбиения [latex]T_{1}[/latex], если каждая точка разбиения [latex]T_{1}[/latex] является точкой разбиения [latex]T_{2}[/latex]. Иначе говоря, разбиение [latex]T_{2}[/latex] либо совпадает с разбиением [latex]T_{1}[/latex], либо получено из [latex]T_{1}[/latex] добавлением по крайней мере одной новой точки.


Свойство [latex]3^{\circ}[/latex].

Если разбиение [latex]T_{2}[/latex] — продолжение разбиения [latex]T_{1}[/latex], то [latex]s_{T_{1}}\leq s_{T_{2}}\leq S_{T_{2}}\leq S_{T_{1}}[/latex] (*), то есть при дроблении отрезка нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя не увеличивается.

Спойлер

[latex]\square [/latex] Для доказательства достаточно рассмотреть случай, когда разбиение [latex]T_{2}[/latex] получается из [latex]T_{1}[/latex] добавлением только одной точки [latex]{x}’\in \left(x_{i-1};x_{i}\right)[/latex]. Пусть [latex]{\triangle _{i}}’=\left[x_{i-1};{x}’\right][/latex] и [latex]{\triangle_{i}}»=\left[{x}’;x_{i}\right][/latex] — отрезки, на которые точка [latex]{x}'[/latex] разбивает отрезок [latex]\triangle _{i}[/latex], а [latex]\lambda _{1}={x}’-x_{i-1}[/latex] и [latex]\lambda _{2}=x_{i}-{x}'[/latex] — длины этих отрезков.

Обозначим [latex]{m_{i}}’=\underset{x\in {\triangle _{i}}’}{\inf f\left(x\right)},[/latex] [latex]{m_{i}}»=\underset{x\in {\triangle _{i}}»}{\inf f\left(x\right)}, {m_{i}}=\underset{x\in {\triangle _{i}}}{\inf f\left(x\right)}[/latex]. Очевидно,что [latex]{m_{i}}’\geq m_{i},[/latex] [latex]{m_{i}}»\geq m_{i}[/latex]. В суммах [latex]s_{T_{2}}[/latex] и [latex]s_{T_{1}}[/latex] равны все соответствующие слагаемые, за исключением тех, которые связаны с отрезком [latex]\triangle _{i}[/latex]. Поэтому:

[latex]s_{T_{2}}-s_{T_{1}}={m_{i}}’\lambda _{1}+{m_{i}}»\lambda _{2}-m_{i}(\lambda _{1}+\lambda _{2})=[/latex] [latex]\left({m_{i}}’-m_{i}\right)\lambda _{1}+({m_{i}}»-m_{i})\lambda _{2}\geq 0\Rightarrow[/latex] [latex]s_{T_{1}}\leq s_{T_{2}}[/latex]

Аналогично доказывается неравенство [latex]S_{T_{2}}\leq S_{T_{1}}[/latex]. Отсюда, используя неравенство [latex]s_{T}\leq S_{T}[/latex] (доказанное в свойстве 1), получаем цепочку неравенств (*).[latex]\blacksquare [/latex]

[свернуть]

При добавлении точки [latex]x'[/latex] в разбиение [latex]T[/latex] верхняя сумма Дарбу уменьшится на величину площади не закрашенного прямоугольника

Layer 1

Свойство [latex]4^{\circ}[/latex].

Для любых разбиений [latex]{T}'[/latex] и [latex] {T}» [/latex] справедливо неравенство [latex]s_{{T}’}\leq S_{{T}»} [/latex].

Спойлер

[latex]\square [/latex] Пусть разбиение [latex]T[/latex] является продолжением как разбиения [latex]{T}'[/latex] , так и  разбиения [latex] {T}» [/latex]. Из неравенств, доказанных в прошлом пункте, получаем следующее:

  1. [latex]s_{{T}’}\leq s_{T}\leq S_{T}[/latex]
  2. [latex]S_{T}\leq S_{{T}»}[/latex]

В итоге: [latex]s_{{T}’}\leq s_{T}\leq S_{T}\leq S_{{T}»}[/latex], откуда следует [latex]s_{{T}’}\leq S_{{T}»}.[/latex] [latex]\blacksquare [/latex]

[свернуть]

Свойство [latex]5^{\circ}[/latex].

Существуют числа [latex]\underline{I}=\sup s_{T},[/latex] [latex]\bar{I}=\inf S_{T},[/latex] называемые верхним и нижним интегралами Дарбу, такие, что для любых разбиений [latex]{T}’,{T}»[/latex] отрезка [latex]\left[a;b\right][/latex]: [latex]s_{{T}’}\leq \underline{I}\leq \bar{I}\leq {S_{{T}»}}[/latex]

Спойлер

[latex]\square [/latex] Из неравенства, доказанного в 4 свойстве, по теореме об отделимости числовых множеств следует, что существует  [latex]\underline{I}=\sup s_{T}[/latex] и [latex] \underline{I}=\inf S_{T}[/latex] (супремум и инфимум) такие, что для всевозможных разбиений отрезка [latex]\left[a;b\right][/latex] и для любых разбиений [latex]{T}’,{T}»[/latex]  выполняется неравенство: [latex]s_{{T}’}\leq \underline{I}\leq \bar{I}\leq {S_{{T}»}}[/latex] [latex]\blacksquare[/latex]

[свернуть]

Замечание

Свойства 1-5 справедливы для любой ограниченной на отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] функции.


Пример 1

Найти суммы Дарбу для функции [latex]f\left(x\right)=x^{3}[/latex] на отрезке [latex]\left[-2;3\right][/latex], соответствующие разбиению этого отрезка на [latex]n[/latex] равных частей.

Спойлер

В этом случае [latex]\triangle x_{i}=\frac{5}{n},[/latex] [latex]x_{i}=-2+\frac{5i}{n},[/latex] [latex]i=\overline{1,n}[/latex]. В силу непрерывности и возрастания этой функции при любом разбиении отрезка она достигает наименьшего [latex]m_{i}=x_{i-1}^{3}[/latex] и наибольшего [latex]M_{i}=x_{i}^{3}[/latex] значений на левом и правом концах частичного отрезка [latex]\left[x_{i-1};x_{i}\right][/latex] соответственно. Согласно формулам, находим:

[latex]s_{T}=\frac{5}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(-2+5\frac{i-1}{n})^{3},[/latex] [latex] S_{T}=\frac{5}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\left(-2+\frac{5i}{n}\right)^{3}[/latex]

Принимая во внимание, что [latex]\sum\limits_{i=1}^{n}i = \frac{n\left(n+1\right)}{2},[/latex] [latex]\sum\limits_{i=1}^{n}i^{2} = \frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6},[/latex] [latex]\sum\limits_{i=1}^{n}i^{3} =\left(1+2+…+n\right)^{2}[/latex], в итоге получаем:

[latex]s_{T}=\frac{65}{4}-\frac{175}{2n} + \frac{125}{4n^{2}},[/latex] [latex] S_{T}=\frac{65}{4}+\frac{175}{2n}+\frac{125}{4n^{2}}[/latex]

Ответ: [latex]s_{T}=\frac{65}{4}-\frac{175}{2n}+\frac{125}{4n^{2}},[/latex] [latex] S_{T}=\frac{65}{4}+\frac{175}{2n}+\frac{125}{4n^{2}}[/latex]

[свернуть]

Пример 2

Для интеграла [latex]\int\limits_{0}^{\pi }\sin x dx[/latex] найти верхнюю и нижнюю интегральные суммы, соответствующие разбиению отрезка [latex]\left[0;\pi\right][/latex] на 3 равные части.

Спойлер

На отрезке [latex]\left[0;\frac{\pi }{3}\right][/latex] функция [latex]\sin x[/latex] монотонно возрастает и поэтому для этого отрезка имеем [latex]m_{0}=\sin 0=0,[/latex] [latex]M_{0}=\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex].

На отрезке [latex]\left[\frac{\pi }{3};\frac{2\pi }{3}\right][/latex] наименьшим значением функции является [latex]m_{1}=\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=[/latex] [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex], а наибольшим [latex]M_{1}=\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1[/latex].

На отрезке [latex]\left[\frac{2\pi }{3};\pi\right][/latex] функция монотонно убывает, и поэтому:

[latex]m_{2}=\sin \pi =0,[/latex] [latex]M_{2}=\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)=[/latex] [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex]

Т.к. все [latex]\triangle x_{i}[/latex] равны [latex]\frac{\pi }{3}[/latex], то

[latex]s_{T}=\frac{\pi }{3}\left(0+\frac{\sqrt{3}}{2}+0\right)=[/latex] [latex]\frac{\pi \sqrt{3}}{6}[/latex]

[latex]S_{T}=\frac{\pi }{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=[/latex] [latex]\frac{\pi \left(\sqrt{3}+1\right)}{3}[/latex]

Ответ: [latex]s_{T}=\frac{\pi }{3}\left(0+\frac{\sqrt{3}}{2}+0\right)=\frac{\pi \sqrt{3}}{6},[/latex] [latex]S_{T}=\frac{\pi }{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=[/latex] [latex]\frac{\pi \left(\sqrt{3}+1\right)}{3}[/latex]

[свернуть]

Литература:

  • Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, т I- 687 стр.(стр. 443- 445)
  • Лысенко З.М. Конспект лекция по математическому анализу (тема «Определенный интеграл»)
  • Морозова В.Д. Введение в анализ: Учеб. для вузов/Под ред. В.С.Зарубина,А.П.Крищенко — М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана,1996 — 408 стр. (стр. 219-220)

 

Тест по теме

Тест с элементарными вопросами по теме «Суммы Дарбу и их свойства»

Таблица лучших: Тест по теме

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Суммы Дарбу и их свойства: 2 комментария

  1. Здравствуйте!
    В главе «Суммы Дарбу», в примере №1 после слов «Принимая во внимание, что….» у Вас следуют три суммы.
    Не совсем понятно,откуда они взялись.
    Не могли бы разъяснить!
    С нетерпением жду ответа!

    1. $ \sum\limits_{i=1}^{n}i = \frac{n\left(n+1\right)}{2} $ — это сума первых $n$ натуральных чисел, вычисленная по формуле суммы арифметической прогрессии. Далее следуют сумма квадратов и сумма кубов первых $n$ натуральных чисел. Эти суммы очень любят вычислять в качестве примеров по анализу. Если Вы не знаете как это делается, то можно почитать, например, здесь или с веселыми картинками здесь. А вообще, это три частных случая формулы, открытой в начале XVII века Иоганном Фаульгабером.
      Если Вы серьёзно собираетесь когда-либо пользоваться математикой в профессиональных целях, то эту тему нужно читать по книге Конкретная математика, которую написал Д.Кнут со товарищи. Там эти суммы считают в разделе 2.5.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *