Суммы Дарбу и их свойства

Существенное продвижение в теории определенного интеграла принадлежит Г. Дарбу, который ввел в рассмотрение наряду с интегральной суммой Римана верхнюю и нижнюю суммы (впоследствии названные суммами Дарбу).

Суммы Дарбу

Итак, пусть функция f\left(x\right)ограничена на \left[a;b\right] и существует разбиение этого отрезка T=\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{n}. Это значит, что fограничена на любом \triangle _{i}=\left[x_{i-1};x_{i}\right], i =\overline{1,n}. Отсюда, по второй теореме Вейtрштрасса\exists M_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\sup f(x)}, \exists m_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\inf f(x)},  i=\overline{1,n}.

Итак, пусть мы выбрали какое-то конкретное разбиение отрезка  [a;b] на n частей. Теперь выберем на каждой из этих частей промежуточные точки \xi _{i} так, чтобы сумма площадей получившихся прямоугольников была минимальной. (см. задачу о вычислении площади криволинейной трапеции)

Построим интегральную сумму следующим способом: на каждом интервале \triangle _{i} разбиения T точку \xi _{i} будем выбирать так, чтобы получался прямоугольник минимальной площади, т.е. чтобы высота f\left(\xi _{i}\right) была наименьшей. Наименьшую высоту нам как раз и даст операция \inf f(x)m_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\inf f(x)}. Интегральная сумма, построенная на таких прямоугольниках, очевидно, есть самая маленькая из всевозможных сумм, получаемых на данном разбиении. Эта сумма называется нижней суммой Дарбу.

Точно так же можно построить и наибольшую для данного разбиения сумму: на каждом из интервалов \triangle _{i} разбиения T мы выбираем точку \xi _{i} так, чтобы значение f\left(\xi _{i}\right) было максимальным: M_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\sup f\left(x\right)}. Этим значениям соответствует интегральная сумма, называемая верхней суммой Дарбу. Теперь дадим более строгое определение.


Определение

\underbrace{S_{T}=\sum_{i=1}^{n}M_{i}\triangle x_{i}} — верхняя сумма Дарбу

\underbrace{s_{T}=\sum_{i=1}^{n}m_{i}\triangle x_{i}} — нижняя сумма Дарбу


Замечание

Суммы Дарбу зависят от разбиения T и не зависят от выбора промежуточных точек \xi _{i}.

Свойства сумм Дарбу

Свойство 1^{\circ}. 

Для любой выборки \xi =\left \{ \xi _{i} \right \}_{i=1}^{n} и разбиения T=\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{n} справедливы неравенства: s_{T}\leq \sigma _{T}\left(\xi ,f\right)\leq S_{T}.  (*)

Доказательство показать

 

Свойство 2^{\circ}.

При T — фиксированном, справедливы равенства: S_{T}=\sup \sigma _{T}\left(\xi ,f\right), s_{T}=\inf \sigma_{T}\left(\xi ,f\right).

Доказательство показать

 Определение

Назовём разбиение T_{2} продолжением (измельчением) разбиения T_{1}, если каждая точка разбиения T_{1} является точкой разбиения T_{2}. Иначе говоря, разбиение T_{2} либо совпадает с разбиением T_{1}, либо получено из T_{1} добавлением по крайней мере одной новой точки.


Свойство 3^{\circ}.

Если разбиение T_{2} — продолжение разбиения T_{1}, то s_{T_{1}}\leq s_{T_{2}}\leq S_{T_{2}}\leq S_{T_{1}} (*), то есть при дроблении отрезка нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя не увеличивается.

Доказательство показать

При добавлении точки x' в разбиение T верхняя сумма Дарбу уменьшится на величину площади не закрашенного прямоугольника

Layer 1

Свойство 4^{\circ}.

Для любых разбиений {T}' и  {T}'' справедливо неравенство s_{{T}'}\leq S_{{T}''} .

Доказательство показать

Свойство 5^{\circ}.

Существуют числа \underline{I}=\sup s_{T}, \bar{I}=\inf S_{T}, называемые верхним и нижним интегралами Дарбу, такие, что для любых разбиений {T}',{T}'' отрезка \left[a;b\right]s_{{T}'}\leq \underline{I}\leq \bar{I}\leq {S_{{T}''}}

Доказательство показать

Замечание

Свойства 1-5 справедливы для любой ограниченной на отрезке \left[a;b\right] функции.


Пример 1

Найти суммы Дарбу для функции f\left(x\right)=x^{3} на отрезке \left[-2;3\right], соответствующие разбиению этого отрезка на n равных частей.

Решение показать

Пример 2

Для интеграла \int\limits_{0}^{\pi }\sin x dx найти верхнюю и нижнюю интегральные суммы, соответствующие разбиению отрезка \left[0;\pi\right] на 3 равные части.

Решение показать

Литература:

  • Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, т I- 687 стр.(стр. 443- 445)
  • Лысенко З.М. Конспект лекция по математическому анализу (тема «Определенный интеграл»)
  • Морозова В.Д. Введение в анализ: Учеб. для вузов/Под ред. В.С.Зарубина,А.П.Крищенко — М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана,1996 — 408 стр. (стр. 219-220)

 

Тест по теме

Тест с элементарными вопросами по теме «Суммы Дарбу и их свойства»

Таблица лучших: Тест по теме

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Суммы Дарбу и их свойства: 2 комментария

  1. Здравствуйте!
    В главе «Суммы Дарбу», в примере №1 после слов «Принимая во внимание, что….» у Вас следуют три суммы.
    Не совсем понятно,откуда они взялись.
    Не могли бы разъяснить!
    С нетерпением жду ответа!

    1. $ \sum\limits_{i=1}^{n}i = \frac{n\left(n+1\right)}{2} $ — это сума первых $n$ натуральных чисел, вычисленная по формуле суммы арифметической прогрессии. Далее следуют сумма квадратов и сумма кубов первых $n$ натуральных чисел. Эти суммы очень любят вычислять в качестве примеров по анализу. Если Вы не знаете как это делается, то можно почитать, например, здесь или с веселыми картинками здесь. А вообще, это три частных случая формулы, открытой в начале XVII века Иоганном Фаульгабером.
      Если Вы серьёзно собираетесь когда-либо пользоваться математикой в профессиональных целях, то эту тему нужно читать по книге Конкретная математика, которую написал Д.Кнут со товарищи. Там эти суммы считают в разделе 2.5.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *