Критерии интегрируемости по Риману в терминах колебаний


Определение. Для ограниченной на отрезке \left[ {\alpha ,\beta } \right] функции \varphi число\omega = \sup \left| {\varphi \left( {x'} \right) - \varphi \left( {x''} \right)} \right|, где x',x'' \in \left[ {\alpha ,\beta } \right], называется колебанием функции \varphi на \left[ {\alpha ,\beta } \right]. Обозначим
$$M = {\sup _{\alpha \leqslant x \leqslant \beta }}\varphi \left( x \right)$$ $$m = {\inf _{\alpha \leqslant x \leqslant \beta }}\varphi \left( x \right).$$ Тогда, как легко видеть, \omega  = M - m. Пусть теперь ограниченная функция f задана на отрезке \left[ {a,b} \right]. Тогда для произвольного разбиения \Pi колебание f на \left[ {{x_i},{x_{i + 1}}} \right] равно {\omega _i} = {M_i} - {m_i}. Поэтому

{\overline S _\Pi } - {\underline S _\Pi } = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\left( {{M_i} - {m_i}} \right)\Delta {x_i} = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{\omega _i}\Delta {x_i}} } .

Таким образом, равносильная формулировка критерия интегрируемости примет следующий вид.
Теорема (критерий интегрируемости в терминах колебаний). Для того чтобы ограниченная функция f была интегрируемой по Риману на отрезке \left[ {a,b} \right], необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство

\mathop {\lim }\limits_{d(\Pi ) \to 0} \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{\omega _i}\Delta {x_i} = 0} ,

где {\omega _i} – колебание функции f на отрезке \left[ {{x_i},{x_{i + 1}}} \right].

Литература

  • В. И. Коляда, А. А. Кореновский Курс лекций по математическому анализу. Часть 1, Одесса, Астропринт, 2009 [стр. 85]

Критерии интегрируемости по Риману в терминах колебаний: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *