Теорема о непрерывности обратной функции

Теорема (о непрерывности обратной функции)

Если f\in C[a;b] и f строго возрастает на I = [a;b], то на E = [f(a),f(b)] определена функция x=g(y), которая будет обратная к f, непрерывна на [f(a), f(b)] и будет строго возрастать на [a;b].

Если f\in C[a;b] и f строго убывает на [a;b], то на [f(b), f(a)] определена функция x=g(y), которая будет обратная к f, непрерывна на [f(b), f(a)] и будет строго убывать на [a;b].

Доказательство:

Предположим, что функция f строго возрастает на отрезке I.
По следствию из 2-ой теоремы Коши о промежуточном значении непрерывных функций область значений E непрерывной функции f тоже есть отрезок.

В силу строгого возрастания функции f для каждого y\in E существует единственная точка x\in I такая, что f(x)=y.
Следовательно для функции f существует обратная функция f^{-1} определенная на отрезке E и с множеством значений I.

Покажем, что f^{-1} строго возрастает на E.

Пусть y_{1} и y_{2} — две произвольные точки из E, такие, что y_{1}<y_{2} и прообразами этих точек будут точки x_{1} и x_{2}. f^{-1}(y_{1})=x_{1} и f^{-1}(y_{2})=x_{2}.

Поскольку f — строго возрастающая функция, то неравенство y_{1}=f(x_{1})<f(x_{2})=y_{2} возможно тогда и только тогда, когда x_{1}<x_{2} или, что то же самое, когда f^{-1}(y_{1})<f^{-1}(y_{2}).

В силу произвольности y_{1} < y_{2} делаем вывод, что функция f^{-1} — строго возрастает на множестве E.

Для случая, когда f строго убывает теорема доказывается аналогично.

Источники

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Свойства функций непрерывных на отрезке»).

Литература

Теорема о непрерывности обратной функции: 2 комментария

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *