Свойства замкнутых множеств

Теорема. Пусть (X,\tau) — произвольное топологическое пространство. Тогда  система всех его замкнутых множеств имеет такие свойства:

  1. Множества X и \varnothing будут замкнутыми;
  2. Произвольная система замкнутых множеств в пересечении дает замкнутое множество;
  3. Произвольная конечная система замкнутых множеств в объединении дает замкнутое множество;

Доказательство

  1. Обозначим через (X,\tau) произвольное топологическое пространство. В таком случае, X и \varnothing являются замкнутыми множествами (в то же время и открытыми по 3-ей аксиоме топологического пространства), так как X\setminus\varnothing=X — открытое множество и X\setminus X=\varnothing — также открытое множество.
  2. Обозначим через \left\{ F_{\alpha} \right\} систему замкнутых множеств. Следовательно, с учетом того факта, что замкнутое множество есть дополнение открытого, получаем \bigcap_{\alpha} F_{\alpha} = \bigcap_{\alpha}(X \setminus G_{\alpha}) = X \setminus \bigcup_{\alpha}G_{\alpha}, так как. объединение открытых множеств есть множество открытое, а его дополнение — замкнуто, то множество X \setminus \bigcup_{\alpha}G_{\alpha} замкнуто.
  3. Аналогично попробуем найти объединение конечной системы замкнутых множеств: \bigcup_{n=1}^{k} F_{n} = \bigcup_{n=1}^{k}(X \setminus G_{n}) = X \setminus \bigcap_{n=1}^{k}G_{n} , так как пересечение конечного числа открытых множеств G_k будет открытым множество, то X \setminus \bigcap_{n=1}^{k}G_{n} замкнуто.

Вышеперечисленные свойства систем замкнутых множеств, однозначно их характеризуют, поэтому не исключается подход, при котором эти свойства принимаются за систему аксиом, определяющих топологическое пространства. Следовательно, имеет место следующая
Теорема. Если X — произвольное множество и \lambda семейство его подмножеств, обладающее следующими свойствами:

  1.  X, \varnothing \in \lambda
  2. Пересечение множеств любой подсистемы в \lambda принадлежит \lambda
  3. Объединение множеств любой конечной подсистемы в \lambda принадлежит \lambda

Предположим, что \upsilon — семейство дополнений всех различных множеств из \lambda. В таком случае \upsilon будет топологией на X, а \lambda — системой замкнутых множеств топологического пространства (X,\upsilon).

Литература:

Свойства замкнутых множеств

Тест по теме «Свойства замкнутых множеств»

Таблица лучших: Свойства замкнутых множеств

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных
/a. Тогда 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *