Примеры замкнутых множеств

  1. \varnothing замкнуто (и, в то же время, открыто).
  2. Отрезок \left [a,b \right ] \subset \mathbb{R} на вещественной прямой замкнут в стандартной топологии, поскольку его дополнение открыто.
  3. Множество \mathbb{Q} \bigcap \left [0,1 \right ] будет замкнутым в пространстве рациональных чисел \mathbb{Q}, но не будет замкнутым в пространстве вещественных чисел \mathbb{R}.
  4. Произвольный замкнутый шар B(x_0,r) = \left\{x : |x - x_0| \leq r \right\} будет замкнутым множеством. Для доказательства данного утверждения, достаточно показать, что какую бы мы ни взяли точку x, не принадлежащую B(x_0,r), она не будет являться предельной для этого шара, то есть. найдется такая окрестность B(x,\rho), в которой нет ни одной точки данного шара (Достаточно взять \rho \leq |x-x_0|-r).
  5. Произвольный сегмент I \equiv \left [a_1,b_1;...;a_n,b_n \right ] будет замкнутым множеством. Для доказательства данного утверждения, достаточно показать, что окрестность произвольной точки x, не принадлежащей I, не будет содержать точек из I. Действительно, так как x \notin I, то найдется такое j, что x_j \notin \left [a_j,b_j \right ]. Пусть, к примеру, x_j < a_j. Легко видеть, что шар B(x,\rho), где 0 < \rho \leq a_j - x_j, не имеет общих точек с I. Следовательно, I – замкнутое множество.
  6. Рассмотрим множество E \equiv \left\{(x,y) : y = sin \frac{1}{x}, x \neq 0\right\}. Отрезок  \left [-1,1 \right ] оси ординат целиком состоит из предельных точек множества E, но ни одна из точек этого отрезка не принадлежит E. Поэтому множество E не является замкнутым.

Литература:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *