Достаточные условия строгой выпуклости.

Теорема (достаточное условие строгой выпуклости)

Пусть дана функция $f(x)$, дважды дифференцируема на интервале $(a;b)$. Тогда:

1. Если ${f}^{\prime\prime}(x) > 0$ на $(a;b)$, то функция $f(x)$ строго выпукла вниз.
2. Если ${f}^{\prime\prime}(x) < 0$ на $(a;b)$, то функция $f(x)$ строго выпукла вверх.

Доказательство

Докажем первый случай, т.е. докажем что $\forall x_{1},x_{2}\epsilon (a;b)$: $f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$

$x_{0} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$, $x_{2}-x_{1} = 2h$. Тогда :
$x_{2} = x_{0} + h$
$x_{1} = x_{0} — h$

Применим к функции $f(x)$ на отрезках $[x_{1};x_{0}]$ и $[x_{0};x_{2}]$ формулу Тейлора с остатком в форме Лагранжа :
$f(x)=f(x_{0})+$$\frac{{f}^{\prime}(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+$ $\frac{{f}^{\prime\prime}(\xi )}{2!}(x-x_{0})^{2}$, $\xi \epsilon (x;x_{0})$.

Пусть $x = x_{1} \Rightarrow$ $f(x_{1}) = f(x_{0}) +$ $\frac{{f}^{\prime}(x_{0})}{1!}(x_{1}-$$x_{0}) +$
$\frac{{f}^{\prime\prime}(\xi_{1} )}{2!}(x_{1}-x_{0})^{2}$, $\xi_{1} \epsilon (x_{1};x_{0})$. Поскольку $x_{1} = x_{0} — h \Rightarrow$ $f(x_{0} — h) = f(x_{0}) +$$\frac{{f}^{\prime}(x_{0})}{1!}(-h) +$$\frac{{f}^{\prime\prime}(\xi_{1} )}{2!}(-h)^{2}$(*).

Пусть $x=x_{2}$ $\Rightarrow$ $f(x_{2})=f(x_{0})+$ $\frac{{f}^{\prime}(x_{0})}{1!}(x_{2}-x_{0})+$
$\frac{{f}^{\prime\prime}(\xi_{2} )}{2!}(x_{2}-x_{0})^{2}$, $\xi_{2} \epsilon (x_{0};x_{2})$. Поскольку $x_{2} = x_{0}+h \Rightarrow$ $f(x_{0}+h) = f(x_{0}) +$ $\frac{{f}^{\prime}(x_{0})}{1!}h +$ $\frac{{f}^{\prime\prime}(\xi_{2} )}{2!}(h)^{2}$(**).

Суммируем полученные выражения (*) и (**), получим: $f(x_{1}) +$ $f(x_{2})=2f(x_{0}) + \frac{h^{2}}{2}({f}^{\prime\prime}(\xi_{1}) +$ ${f}^{\prime\prime}(\xi _{2}))$, а т.к. по условию ${f}^{\prime\prime}(x)> 0 \Rightarrow$ $f(x_{1})+f(x_{2})=2f(x_{0})$ $\Rightarrow$ $\forall x_{1},x_{2}\epsilon (a;b)$: $f(\frac{x_{1} +x_{2}}{2})<$$\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$ $\Rightarrow$ функция $f(x)$ строго выпукла вниз.

Аналогично теорема доказывается для второго случая.

Замечание:

Условие ${f}^{\prime\prime}(x)> 0$(или ${f}^{\prime\prime}(x) < 0$) не является необходимым условием строгой выпуклости вниз (вверх).

Пример:

Рассмотрим функцию $f(x) = x^{4}$.

Найдем вторую производную данной функции: ${f}^{\prime\prime}(x) = 12x^{2}$, ${f}^{\prime\prime}(x) = 12x^{2} > 0$, ${f}^{\prime\prime}(0) = 0$ $\Rightarrow$ условие ${f}^{\prime\prime}(x) > 0$ нарушается, поскольку $f^{\prime\prime}(0) = 0$, однако эта функция строго выпукла вниз.

Список литературы:

• Конспект по математическому анализу (преподаватель Лысенко З.М.);
• Фихненгольц Г.М «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (том 1), 5-е издание, глава 4, §2(стр 308).

Выпулость функций

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест по теме «Выпуклость функций».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 4 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Впишите правильный ответ:

   • Если вторая производная функции y=f(x)>0 на интервале (a;b), то функция (строго выпукла вниз).
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Если вторая производная функции y=f(x)>0 на интервале (a;b), то функция {строго выпукла вниз}.
2. Задание 2 из 4

   2.

   На каком интервале функция $y=\sqrt{1-x^{2}}$ является выпуклой вверх?

   • $$(-\infty;+\infty)$$
   • $$[-1;1]$$
   • $$(-\infty;1)$$
   • $$(-1;+\infty)$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Функция $f(x)$ называется выпуклой вверх на отрезке $[a;b]$, если

   • Нет условий.
   • $$\forall x_{1}, x_{2}\epsilon [a;b]: f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})\geq \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$$
   • $$\forall x_{1}, x_{2}\epsilon [a;b]: f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})\leq \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Установите соответствия между графиками функций и видами выпуклости:

   Элементы сортировки

   • $$Выпукла\, вниз\, на\, интервале\, (-\infty;+\infty)$$
   • $$Выпукла\, вниз\, на\, интервале\, (\pi ;2\pi )\, и\,выпукла\, вверх$$ $$на\, интервале\, (0;\pi )$$
   • $$При\, x> 0\, выпукла\, вверх\, а\, при\, x< 0\, выпукла\, вниз.$$
   • Всюду выпукла вниз.

   • $$y=x^{2}$$

   • $$y=\sin x$$

   • $$y=x^{3}$$

   • $$y=e^{x}$$

   Правильно
   

   Неправильно