Метод интегрирования по частям

Теорема.
Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы на интервале $I$ . Если одна из функций $u(x)v^\prime(x)$ или $u^\prime(x)v(x)$ имеет первообразную на интервале $I$ , то на этом интервале имеет первообразную и другая функция, причем справедливо равенство $\int u(x)v^\prime(x)dx=u(x)v(x)-\int u^\prime(x)v(x)dx$
или короче $\int udv=uv -\int vdu.$
Доказательство.
Пусть $u(x)v^\prime(x)$ имеет первообразную, тогда, по правилу дифференцирования произведения, имеем
$\left(u(x)v(x)\right)^\prime=u(x)v^\prime(x)+u^\prime(x)v(x).$
Получаем, что $u^\prime(x)v(x)$ является разностью производных двух функций, то-есть двух функций имеющих первообразные, следовательно сама имеет первообразную и справедливо равенство $\int u(x)v^\prime(x)dx=u(x)v(x)-\int u^\prime(x)v(x)dx.$
Замечание.
Если одна из функции дифференцируемая, а другая имеет первообразную, то их произведение не обязано иметь первообразную. Поэтому в формулировке теоремы нужно предполагать наличие первообразной у одной из функций $u(x)v^\prime(x$ или $u^\prime(x)v(x)$ .
Пример 1.

$\int {\ln xdx} =$ $\left[ \begin{array}{l}u = \ln x;\\dv = dx;\\du =\frac{{dx}}{x};\\v = x.\end{array} \right] =$ $x\ln x — \int{x \frac{{dx}}{x}} =$ $x\ln x — x + C$

Пример 2.

$\int{x\cos xdx} =$ $\left[ \begin{array}{l}u = x;\\dv = \cos xdx;\\du = dx;\\v = \sin x.\end{array} \right] =$ $x\sin x — \int {\sin xdx} =$ $\sin xdx + \cos x + C$

Пример 3.

В некоторых случаях для вычисление интеграла нужно сложить уравнение. Так, например

$I = \int {e^{ax}\sin{bx}dx} =$ $\left[ \begin{array}{l}u = {e^{ax}};\\dv = \sin{bx}dx;\\du = a{e^{ax}}dx;\\v =- \frac{1}{b}\cos{bx}.\end{array} \right] =$ $— \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos{bx} + \frac{a}{b}\int{ e^{ax}\cos{bx}dx}=$ $\left[ \begin{array}{l}u = {e^{ax}};\\dv = \cos{bx}dx;\\du = a{e^{ax}}dx;\\v = \frac{1}{b}\sin{bx}.\end{array} \right] =$ $— \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos{bx} + \frac{a}{b}\left( {\frac{1}{b}{e^{ax}}\sin{bx} — \frac{a}{b}\int {e^{ax}\sin{bx}dx} } \right) =$ $— \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos{bx} + \frac{a}{b^2}{e^{ax}}\sin{bx} — \frac{a^2}{b^2}I$
Отсюда

$I =$ $\int {e^{ax}\sin bxdx} =$ $\frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(a\sin bx — b\cos bx) + C$

По аналогии,

$\int {e^{ax}\cos bxdx} =$ $\frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(b\sin bx + a\cos bx) + C$

Литература

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Том 2. (стр. 31-32)
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, Том 1. (стр. 464-465)
Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу Часть 1.(стр. 55-56).
Коляда В.И., Кореновский А.А. Курс лекций по математическому анализу Часть 1. (стр. 159-160)
Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. В 3-х ч. Ч.1-2 -М.:Наука, 1969, Ч.3 -М.:Наука, 1970. (стр. 325)

Смотрите также