Теорема Гейне – Бореля. Чтобы множество K⊂Rn являлось компактным, необходимо и достаточно, чтобы K было ограниченным и замкнутым.
Доказательство. Достаточность. Пусть K замкнуто и ограничено. Тогда найдется сегмент I⊂Rn, содержащий K. В силу леммы Гейне – Бореля, этот сегмент I компактен. Поэтому, в силу свойств компактных множеств, компактно также его замкнутое подмножество K. Необходимость. Пусть K — компакт. Докажем, что данное множество ограничено. Обозначим через Bs открытый шар с центром в точке 0 радиуса s. Тогда последовательность шаров{Bs}∞s=1 покрывает все пространство Rn, а следовательно, и множество K. Так как K компактно, следовательно, оно может быть покрыто конечным набором шаров Bs. Среди всех этих шаров выберем шар с наибольшим радиусом. Пусть это шар B∗. Тогда ясно, что K⊂B∗, так что K ограничено. Покажем теперь, замкнутость множества K. Для этого достаточно показать, что любая точка y∉K, не будет предельной для K. Итак, пусть y∉K. Рассмотрим множества Gk=c¯B(y,1k)(k=1,2,…). Так как замкнутый шар ¯B(y,1k) – множество замкнутое, следовательно его дополнение Gk открыто. Кроме того, ясно, что⋃∞k=1Gk=Rn∖{y}. Поскольку y∉K, то совокупность множеств Gk(k=1,2,…) образует открытое покрытие множества K. Пользуясь компактностью K, выберем из этого покрытия конечное подпокрытие {Gk1,…,Gks} и положим ρ=1max{k1,…,ks}>0. Отсюда следует, что шар B(y,ρ) не имеет общих точек с множеством K. Получаем, что точка y не будет предельной для K. 
Литература:
