Подынтегральная функция рационально зависит от  $latex \sin x$  и  $latex \cos x$; применим подстановку $latex \tan \frac{x}{2}=t$,

тогда  $latex \sin x=\frac{2t}{1+t^{2}}$ ;  $latex \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ ;  $latex dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$       и

$latex \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}=$ $latex \int \frac{\frac{2dt}{1+t^{2}}}{4\cdot \frac{2t}{1+t^{2}}+3\cdot \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}=$

$latex =2 \int \frac{dt}{2t^{2}+8t+5}=$  $latex \int \frac{dt}{(t+2)^{2}}=$ $latex =-\frac{1}{t+2}+C$ .

Возвращаясь к старой переменной, получим: 

$latex \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}=-\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}+C$   $latex \blacktriangle$

$latex \triangle$ Так как подынтегральная функция нечетна относительно синуса, то полагаем $latex \cos x=t$.

Отсюда    $latex \sin ^{2}x=1-t^{2},\ \cos 2x=2\cos ^{2}x-1=2t^{2}-1,\ dt=-\sin x \ dx.$

Таким образом :

$latex \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}=\int \frac{(2-t^{2})(-dt)}{2t^{2}-1}=\int \frac{(2t^{2}-2)\ dt}{2t^{2}-1}=$

$latex =\frac{1}{2}\int \frac{2t^{2}-4}{2t^{2}-1}\ dt=\frac{1}{2}\int dt-\frac{3}{2}\int\frac{dt}{2t^{2}-1}=$

$latex =\frac{t}{2}-\frac{3}{2\sqrt{2}}\int \frac{d(t\sqrt{2})}{2t^{2}-1}=\frac{t}{2}-\frac{3}{2\sqrt{2}}\ln \left | \frac{t\sqrt{2}-1}{t\sqrt{2}+1} \right |+C.$

Следовательно:

$latex \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}=\frac{1}{2}\cos x-\frac{3}{2\sqrt{2}} \ln\left | \frac{\sqrt{2}\cos x-1}{\sqrt{2}\cos x+1} \right |+C .$          $latex \blacktriangle$

$latex \triangle$ Сделаем подстановку $latex t=2+3\sinh x,\ du=3\cosh xdx.$ Тогда $latex \cosh xdx=\frac{dt}{3}.$ Следовательно, интеграл равен

$latex \int \frac{\cosh x}{2+3\sinh x}dx=\int \frac{dt}{3}\cdot \frac{1}{t}=\frac{1}{3}\int \frac{dt}{t}=\frac{1}{3}\ln \left | t \right |+C=\frac{1}{3}\ln \left | 2+3\sinh x \right |+C.$       $latex \blacktriangle$

$latex \triangle$ Поскольку $latex \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$, и, следовательно, $latex \sinh ^{2}x=\cosh ^{2}x-1,$ интеграл можно переписать в виде

$latex \mathbb{I}=\int \sinh ^{3} xdx=\int \sinh ^{2}x\cosh xdx=\int (\cosh ^{2}x-1)\sinh xdx$

Делая замену $latex t=\cosh x,\ dt=\sinh xdx,$ получаем

$latex \mathbb{I}=\int (\cosh ^{2}x-1)\sinh xdx=\int (t^{2}-1)dt=$

$latex =\frac{t^{3}}{3}-t+C=\frac{\cosh ^{3}x}{3}-\sinh x+C$ $latex \blacktriangle$