Лемма Гейне-Бореля

Лемма (Гейне – Бореля). Произвольный сегмент в \mathbb{R}^n является компактным множеством .

Доказательство. Обозначим через I = [a^1,b^1;...;a^n,b^n] – сегмент в \mathbb{R}^n. Докажем от противного. Пусть данный сегмент не является компактным. Тогда найдется такое открытое покрытие \Omega сегмента I, что никакое конечное подсемейство множеств из \Omega не покрывает I. Все стороны [a^i,b^i] сегмента I разделим пополам. Таким образом данный сегмент можно разбить на 2^n сегментов. По крайней мере один из них не покрывается конечным подсемейством множеств из \Omega. В противном случае, исходный сегмент I также мог бы быть покрытым конечным набором множеств из \Omega, что приводит к противоречию. Обозначим через I_1 тот из подсегментов I, который не может быть покрыт конечным набором множеств из \Omega. Каждую из сторон сегмента I_1 опять разделим пополам и среди полученных 2^n сегментов, на которые окажется разбитым I_1, возьмем тот, который не покрывается конечным подсемейством множеств из \Omega. Обозначим его через I_2 и так далее. Продолжая подобные действия, получим последовательность вложенных сегментов I \supset I_1 \supset I_2 \supset ... \supset I_{\nu} \supset ..., таких, что любой из сегментов I_{\nu} не может быть покрыт каким-либо конечным подсемейством множеств из \Omega. Заметим также, что diam \> I_{\nu} = \frac{diam \> I}{2^{\nu}} \mapsto 0 (\nu \mapsto \infty). Применив к полученной последовательности I_{\nu} лемму о вложенных сегментах, найдем точку x_0 \in I_{\nu} (\nu = 1,2,...). Поскольку x_0 \in I, а I покрыт семейством \Omega открытых множеств, то найдется такое открытое множество F \in \Omega, что x_0 \in F. Поскольку множество F открытое и точка x_0 \in F, то эта точка внутренняя в F. Это означает, что найдется такая окрестность B(x_0,\delta) точки x_0, которая целиком содержится во множестве F. Но поскольку диаметры сегментов I_{\nu} стремятся к нулю при \nu \mapsto \infty, то, начиная с какого-то номера \nu_0, они будут меньшими, чем \delta, то есть. diam \> I_{\nu} < \delta (\nu \geq \nu_0). Учитывая, что x_0 \in I_{\nu}, получаем, что I_{\nu} \subset B(x_0,\delta), а значит, I_{\nu} \subset F. Итак, мы получили, что при \nu \geq \nu_0 сегмент I_{\nu} содержится во множестве F. Но это противоречит выбору сегментов I_{\nu}, поскольку они были выбраны так, что никакое конечное подсемейство множеств из \Omega не покрывает I_{\nu}. Полученное противоречие завершает доказательство. \square

Литература:

Лемма Гейне-Бореля: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *