Для лучшего восприятия этого материала сперва следует прочесть Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана
Определение 1. (Интегральная сумма)
Пусть функция $latex f(x)$ определена на отрезке $latex [a,b]$. Разделим отрезок $latex [a,b]$ на n произвольных частей точками $latex a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n-1}<x_{n}=b,$ выберем на каждом элементарном отрезке $latex [x_{k-1};x_{k}]$ произвольную точку $latex \xi _{k}$ и найдём длину каждого такого отрезка: $latex \triangle x_{k}=x_{k}-x_{k-1}$.
$latex \triangle $ Интегральной суммой для функции $latex f(x)$ на отрезке $latex [a,b]$ называется сумма вида
$latex \underbrace{\sum_{k=1}^{n}f(\xi _{k})\triangle x_{k}},$ причем эта сумма имеет конечный предел $latex I$ если для каждого $latex \varepsilon >0$ найдется такое число $latex \delta >0$, что при $latex (max\ \triangle x_{k})<\delta$ неравенство $latex \underbrace{\left | \sum_{k=1}^{n}f(\xi _{k})\triangle x_{k}-I \right |<\varepsilon}$ выполняется при любом наборе числе $latex \xi _{k}.$ $latex \blacktriangle $
Определение 2. (Верхние и нижние суммы)
Пусть функция $latex f(x)$ ограничена на сегменте $latex [a;b]$ и $T $ — разбиение этого сегмента точками $latex a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n-1}<x_{n}=b.$ Обозначим через $latex M_{i}$ и $latex m_{i}$ соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте $latex [x_{i}-x_{i-1}]$.
Суммы
$latex S=M_{1}\triangle x_{1}+M_{2}\triangle x_{2}+…M_{n}\triangle x_{n}=\underbrace{\sum_{i=1}^{n}M_{i\triangle x_{i}}}$
и
$latex S=m_{1}\triangle x_{1}+m_{2}\triangle x_{2}+…m_{n}\triangle x_{n}=\underbrace{\sum_{i=1}^{n}m_{i\triangle x_{i}}}$
называются соответственно верхней и нижней суммами функции $latex f(x)$ для данного разбиения $latex T$ сегмента $latex [a;b]$.
Рисунок 1. Разбиение сегмента $latex [a;b]$
.Замечание. Суммы такого вида называют суммами Дарбу.
Список литературы:
- А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г. (Издание 6-е. Часть 1) стр. 244-246
- Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.
- Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (Том 2), 5-е издание, 1964 г., глава 9, §1, стр. 97-100
Тест (Определенный интеграл Римана)
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Информация
Тест по темам:
1. Определенный интеграл Римана.
2. Интегральные суммы.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат |
|
Ваш результат |
|
Рубрики
- История 0%
- Математический анализ 0%
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается | ||||
Нет данных | ||||
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- С ответом
- С отметкой о просмотре
-
Задание 1 из 5
1.
Количество баллов: 1
Если функция $latex f(x)$ непрерывна на $latex [a,b]$ , то предел интегральной суммы существует и …Правильно 1 / 1БаллыНеправильно / 1 БаллыПодъучи ещё и снова приходи
-
Задание 2 из 5
2.
Количество баллов: 4
Вычислите значения каждого интеграла и разместите их, начиная от меньшего (по значению) к большему :1. $latex \int_{2}^{4}xdx$
2. $ \int_{0}^{1}e^{x}dx$
3.$latex \int_{2}^{3}2dx$
4. $latex \int_{2}^{2}\sin ^{2}x-x^{10}+5x^{3}$
-
4
-
2
-
3
-
1
Правильно 4 / 4БаллыНеправильно / 4 Баллы -
-
Задание 3 из 5
3.
Количество баллов: 6
Кто есть кто?(Риман=3 балла)
Элементы сортировки
- Буняковский
- Риман
- Ньютон
- Лагранж
Правильно
Неправильно
-
Задание 4 из 5
4.
Количество баллов: 2
Интегральной суммой для функции $latex f(x)$ на отрезке $latex [a,b]$ называется …Правильно 2 / 2БаллыНеправильно / 2 Баллы -
Задание 5 из 5
5.
Количество баллов: 1
Дополните фразу: геометрически интеграл представляет собой площадь криволинейной …Правильно
Неправильно
Таблица лучших: Тест (Определенный интеграл Римана)
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается | ||||
Нет данных | ||||