Нормы в n-мерном пространстве.

Евклидовой нормой или длиной числа x называется число:

 \left \| x \right \|= \sqrt{x\cdot x} = \sqrt{(x_1)^2+...+(x_n)^2}

 

 Свойства нормы:

  1.   \left \| x \right \| \geq 0 и \left \| x \right \|=0 тогда , когда x=0
  2.   \left \| x+y \right \|\leq \left \| x \right \|+\left \| y \right \|
  3.  \left \| x y \right \|\leq \left \| x \right \| \left \| y \right \|
  4.  \left \| a x \right \|= \left | a \right | \left \| x \right \|
  5.   \left \| x-z \right \|\leq \left \| x-y \right \|+\left \| y-z \right \|

В евклидовом пространстве C[a,b] всех непрерывных на сегменте a \leq t \leq b функций x=x(t) со скалярным произведением \int\limits_{a}^{b} x(t)y(t)dt норма элемента x=x(t) равна \sqrt{\int\limits_{a}^{b}x^{2}(t)dt} , а неравенства Коши-Буняковского и треугольника имеют вид:

  •   \left [ \int\limits_{a}^{b}x(t)y(t)dt \right ]^{2} \leq \int\limits_{a}^{b}x^{2}(t)dt\int\limits_{a}^{b}y^{2}(t)dt  (неравенство Коши-Буняковского)
  • \sqrt{\int\limits_{a}^{b}\left [ x(t)+y(t) \right ]^{2}dt} \leq \sqrt{\int\limits_{a}^{b}x^{2}(t)dt} + \sqrt{\int\limits_{a}^{b}y^{2}(t)dt} (неравенство треугольника)

Литература:

  • У.Рудин «Основы математического анализа» 2-е изд. стр. 29-31, 39-41.

Нормы в n-мерном пространстве.: 1 комментарий

  1. 1. Слишком лаконично — одно законченное предложение и все? Это что единственная норма? Даже в заголовке множественное число.
    2. Разделите где какое неравенство в последнем предложении.
    3. Нет меток.
    4. Нет ссылок на термины, определяемые в других разделах сайта.
    5. Нет примеров.
    6. В литературе нет выходных данных и страниц, на которые Вы ссылаетесь.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *