Определение предела функции по Коши и по Гейне, их эквивалентность

Определение предела функции по Коши

Пусть функция f(x) определена в проколотой окрестности 0(x^{0}) точки x^{0} метрического пространства X . Говорят, что число A есть предел функции f(x) при x \to x_{0} , если \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 такое, что для \forall x \in O(x^{0}) , удовлетворяющего условию \rho(x, x^{0}) < \delta ,  выполнено неравенство \left | f(x) - A \right | < \varepsilon .

Определение предела функции по Гейне

Говорят, что функция f(x) , определенная в 0(x^{0}) , имеет при x \to x_{0} предел A , если для любой последовательности x^{k} \in 0(x^{0}) такой, что lim_{k \to \infty}x^{k} = x^{0} , выполнено равенство lim_{k \to \infty}f(x^{k}) = A .

Эквивалентность двух определений предела доказывается так же, как и для функций одной переменной.

Пример

Докажем, что lim_{x \to 0 , y \to 0}(x^{2}+y^{2})^{a}=0 , если a>0 . Возьмем любое \varepsilon > 0 . Положим \delta= \varepsilon^{\frac{1}{2a}} . Пусть (x,y) \in S_{\delta}(0,0) , тогда (x^{2}+y^{2})^{a}<\delta^{2a}<\varepsilon , т.е. lim_{x \to 0 , y \to 0}(x^{2}+y^{2})^{a}=0 .

Определение предела функции по Коши и по Гейне.

Литература:

 

Определение предела функции по Коши и по Гейне, их эквивалентность: 2 комментария

  1. Ну, типичные для Вас ошибки и здесь.
    Кроме того, текст Замечание №1 или 2 лучше писать на самом спойлере. Или вообще не писать. Сейчас текст Замечание №2 занимает столько же места, чем само замечание без всякого спойлера. Нелогично. Нумеровать замечания стоит если Вы ссылаетесь на них в тексте или далее.
    Еще одно замечание по сути материала. Вы обратили внимание, что некоторые Ваши темы встречаются в курсе анализа несколько раз. Например, сначала для функций одной переменной, потом — многих переменных. Вы уверены, что ничего не напутали с изложением материала? Вы точно здесь имеете в виду непрерывные отображения?

  2. 1. В тесте на соответствие вы для одного варианта написали lim, а для второго забыли
    2. Весь текст написан про функцию одной переменной, а тема — про многие. Если я не прав — поясните.
    3. Не увидел примеров.
    4. Нет терминов со ссылками на другие страницы нашего сайта
    5. Нет меток (ключевых слов).
    6. У.Рудин «Основы математического анализа». Где издательство, год издания, страницы?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *