Определение предела функции по Коши и по Гейне, их эквивалентность

Определение предела функции по Коши

Пусть функция $f(x)$ определена в проколотой окрестности $0(x^{0})$ точки $x^{0}$ метрического пространства $X$ . Говорят, что число $A$ есть предел функции $f(x)$ при $x \to x_{0}$ , если $\forall \varepsilon > 0$ $\exists \delta > 0$ такое, что для $\forall x \in O(x^{0})$ , удовлетворяющего условию $\rho(x, x^{0}) < \delta$ , выполнено неравенство $\left | f(x) - A \right | < \varepsilon$ .

Определение предела функции по Гейне

Говорят, что функция $f(x)$ , определенная в $0(x^{0})$ , имеет при $x \to x_{0}$ предел $A$ , если для любой последовательности $x^{k} \in 0(x^{0})$ такой, что $lim_{k \to \infty}x^{k} = x^{0}$ , выполнено равенство $lim_{k \to \infty}f(x^{k}) = A$ .

Эквивалентность двух определений предела доказывается так же, как и для функций одной переменной.

Пример

Докажем, что $lim_{x \to 0 , y \to 0}(x^{2}+y^{2})^{a}=0$ , если $a>0$ . Возьмем любое $\varepsilon > 0$ . Положим $\delta= \varepsilon^{\frac{1}{2a}}$ . Пусть $(x,y) \in S_{\delta}(0,0)$ , тогда $(x^{2}+y^{2})^{a}<\delta^{2a}<\varepsilon$ , т.е. $lim_{x \to 0 , y \to 0}(x^{2}+y^{2})^{a}=0$ .

Определение предела функции по Коши и по Гейне.

Литература:

Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа» стр. 232-234.

Похожее

Определение предела функции по Коши и по Гейне, их эквивалентность: 2 комментария

Ну, типичные для Вас ошибки и здесь.
Кроме того, текст Замечание №1 или 2 лучше писать на самом спойлере. Или вообще не писать. Сейчас текст Замечание №2 занимает столько же места, чем само замечание без всякого спойлера. Нелогично. Нумеровать замечания стоит если Вы ссылаетесь на них в тексте или далее.
Еще одно замечание по сути материала. Вы обратили внимание, что некоторые Ваши темы встречаются в курсе анализа несколько раз. Например, сначала для функций одной переменной, потом — многих переменных. Вы уверены, что ничего не напутали с изложением материала? Вы точно здесь имеете в виду непрерывные отображения?

Ответить

1. В тесте на соответствие вы для одного варианта написали lim, а для второго забыли
2. Весь текст написан про функцию одной переменной, а тема — про многие. Если я не прав — поясните.
3. Не увидел примеров.
4. Нет терминов со ссылками на другие страницы нашего сайта
5. Нет меток (ключевых слов).
6. У.Рудин «Основы математического анализа». Где издательство, год издания, страницы?

Ответить

Определение предела функции по Коши и по Гейне, их эквивалентность

Определение предела функции по Коши