Определение предела функции по Коши
Пусть функция $latex f(x) $ определена в проколотой окрестности $latex 0(x^{0}) $ точки $latex x^{0} $ метрического пространства $latex X $. Говорят, что число $latex A $ есть предел функции $latex f(x) $ при $latex x \to x_{0} $ , если $latex \forall \varepsilon > 0 $ $latex \exists \delta > 0 $ такое, что для $latex \forall x \in O(x^{0}) $, удовлетворяющего условию $latex \rho(x, x^{0}) < \delta $, выполнено неравенство $latex \left | f(x) — A \right | < \varepsilon $.
Определение предела функции по Гейне
Говорят, что функция $latex f(x) $, определенная в $latex 0(x^{0}) $, имеет при $latex x \to x_{0} $ предел $latex A $, если для любой последовательности $latex x^{k} \in 0(x^{0}) $ такой, что $latex lim_{k \to \infty}x^{k} = x^{0} $, выполнено равенство $latex lim_{k \to \infty}f(x^{k}) = A $.
Эквивалентность двух определений предела доказывается так же, как и для функций одной переменной.
Пример
Докажем, что $latex lim_{x \to 0 , y \to 0}(x^{2}+y^{2})^{a}=0 $ , если $latex a>0 $. Возьмем любое $latex \varepsilon > 0 $. Положим $latex \delta= \varepsilon^{\frac{1}{2a}} $. Пусть $latex (x,y) \in S_{\delta}(0,0) $, тогда $latex (x^{2}+y^{2})^{a}<\delta^{2a}<\varepsilon $ , т.е. $latex lim_{x \to 0 , y \to 0}(x^{2}+y^{2})^{a}=0 $.
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Информация
Определение предела функции по Коши и по Гейне.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Рубрики
- Математический анализ 0%
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- С ответом
- С отметкой о просмотре
-
Задание 1 из 5
1.
Количество баллов: 20Отнесите заданные функции к соответствующему критерию.
Элементы сортировки
- $$ lim_{x \to \infty}(1-x) $$
- $$ lim_{x \to 2}x^{2} $$
-
Имеет предел равный $$-\infty$$
-
Имеет предел равный 4
Правильно
Неправильно
-
Задание 2 из 5
2.
Количество баллов: 20Может ли функция иметь два разных предела в одной и той же точке?
Правильно
Неправильно
-
Задание 3 из 5
3.
Количество баллов: 20Что означает следующая фраза:
[latex]x[/latex] принадлежит проколотой окрестности точки [latex]a[/latex]
Правильно
Неправильно
-
Задание 4 из 5
4.
Количество баллов: 20Определения по Коши и по Гейне…
Правильно
Неправильно
-
Задание 5 из 5
5.
Количество баллов: 20Дайте определение предела по Коши.
-
$$ \forall \varepsilon >0 $$
-
$$ \exists \delta >0 $$
-
$$ \forall x: 0<|x-a|<\delta $$
-
$$ |f(x)-A|<\varepsilon $$
Правильно
Неправильно
-
Литература:
Ну, типичные для Вас ошибки и здесь.
Кроме того, текст Замечание №1 или 2 лучше писать на самом спойлере. Или вообще не писать. Сейчас текст Замечание №2 занимает столько же места, чем само замечание без всякого спойлера. Нелогично. Нумеровать замечания стоит если Вы ссылаетесь на них в тексте или далее.
Еще одно замечание по сути материала. Вы обратили внимание, что некоторые Ваши темы встречаются в курсе анализа несколько раз. Например, сначала для функций одной переменной, потом — многих переменных. Вы уверены, что ничего не напутали с изложением материала? Вы точно здесь имеете в виду непрерывные отображения?
1. В тесте на соответствие вы для одного варианта написали lim, а для второго забыли
2. Весь текст написан про функцию одной переменной, а тема — про многие. Если я не прав — поясните.
3. Не увидел примеров.
4. Нет терминов со ссылками на другие страницы нашего сайта
5. Нет меток (ключевых слов).
6. У.Рудин «Основы математического анализа». Где издательство, год издания, страницы?