Неравенство Коши — Буняковского

Неравенство, связывающее норму и скалярное произведение векторов векторного пространства. Эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением: $(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})^2 \leq \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 \sum_{i=1}^{n}b_{i}^2$. Справедливое для любых вещественных чисел $a_{1} , b_{1} … a_{n} , b_{n}$

Доказательство:

Рассмотрим квадратный трехчлен:$p(\xi)=\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+ \xi b_{i})^2 =A + 2B\xi +C\xi^{2}$ , где $A=\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2$ ,  $B=\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$ ,  $C=\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2$. Так как квадратный трехчлен $P(\xi)$ принимает только неотрицательные значения, то его дискриминант неположителен, а именно,  $B^2-AC\leq 0$ . Подставляя в неравенство значения коэффициентов $A$, $B$ и $C$, получаем неравенство Коши-Буняковского.

Доказательство «неравенства треугольника» :

Докажем неравенство Минковского: $\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2}$.

Используя неравенство Коши, получаем: $\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^2 = \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 +2\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2 \leq$ $\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 +2\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2=$ $(\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}})^2$

Извлекая из обеих частей этого неравенства квадратные корни, получаем неравенство Минковского. Полагая в неравенстве Минковского $a_{i}=x_{i}-z_{i} , b_{i}= z_{i}-y_{i}$ , получаем неравенство $\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-z_{i})^2} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(z_{i}-y_{i})^2}$ т. е. неравенство треугольника для расстояния $p(x,y)$.

Литература:

• Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа» стр. 223-225.