Понятие абстрактного линейного пространства. Простейшие следствия из аксиом

Определение

Пусть $X\neq \varnothing$, $\mathbb P$ — поле. $\left(X,\mathbb P \right)$ называется абстрактным линейным пространством, если выполняются следующие три группы аксиом:

1. На $X$ задана БАО (бинарная алгебраическая операция) «+», относительно которой $\left(X,+ \right)$ — абелева группа.
2. Задано отображение: $\bullet:\mathbb P \times X \rightarrow X$ такое, что:
   • $1 \cdot x=$$\ $$x, \forall x\in X,$
   • $\alpha \left(\beta x \right)=$$\ $$\left(\alpha\beta \right)x,$$\ $$\forall x\in X,$$\ $$\forall \alpha, \beta \in \mathbb P.$
3. • $\alpha\left(x_{1}+x_{2} \right)=$$\ $$\alpha x_{1} + \alpha x_{2},$$\ $$\forall \alpha \in \mathbb P,$$\ $$\forall x_{1}, x_{2} \in X,$
   • $\left(\alpha + \beta \right)x=$$\ $$\alpha x + \beta x,$$\ $$\mathcal{8} \alpha , \beta \in \mathbb P,$$\ $$\mathcal{8} x \in X.$

Элементы поля $\mathbb P$ называются скалярными, а множество $X$ называется носителем векторов.

Следствия из аксиом

1. $\alpha \cdot 0=0, \forall \alpha \in \mathbb P$
   
   Спойлер

   $\alpha \cdot 0=$$\ $$\alpha \left(0 + 0 \right)=$$\ $$\alpha \cdot 0 + \alpha \cdot 0 \mid + \left(-\alpha \cdot 0 \right)$
   $\alpha \cdot 0 + \left(-\alpha \cdot 0 \right)=$$\ $$\left(\alpha \cdot 0 + \alpha \cdot 0 \right) + \left(-\alpha \cdot 0 \right)$
   $0=$$\ $$\alpha \cdot 0 + \left(\alpha \cdot 0 + \left(-\alpha \cdot 0 \right)\right)=$$\ $$\alpha \cdot 0$

   [свернуть]
2. $0 \cdot x=0, \forall x \in X$
   
   Спойлер

   Доказывается по аналогии со следствием 1.

   [свернуть]
3. $\left(-\alpha \right)x=$$\ $$-\left(\alpha x \right), \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X$
   
   Спойлер

   $\left(-\alpha \right)x + \alpha x=$$\ $$\left(\left(-\alpha \right) + \alpha\right)x=$$\ $$0 \cdot x=$$\ $$0 \Rightarrow \left(-\alpha \right)x=$$\ $$-\left(\alpha x \right)$

   [свернуть]
4. $\left(-1 \right)x=-x, \forall x \in X$
   
   Спойлер

   Доказывается по аналогии со следствием 3.

   [свернуть]
5. $\left(\alpha — \beta \right)x=$$\ $$\alpha x — \beta x, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x \in X$
   
   Спойлер

   $\left(\alpha + \left( -\beta\right)\right)x=$$\ $$\alpha x + \left(-\beta x\right)=$$\ $$\alpha x + \left(-\beta \right)x=$$\ $$\alpha x — \beta x$

   [свернуть]
6. $\alpha \left(x — y \right)=$$\ $$\alpha x — \alpha y, \forall x,y \in X, \forall \alpha \in \mathbb P$
   
   Спойлер

   Доказывается по аналогии со следствием 5.

   [свернуть]
7. $\alpha x=$$\ $$0 \Leftrightarrow \alpha =$$\ $$0 \vee x=$$\ $$0, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X$
   
   Спойлер

   $\alpha x=$$\ $$0 \Rightarrow$ Пусть $\alpha \neq 0$
   $x=$$\ $$1 \cdot x=$$\ $$\left(\frac{1}{\alpha}\alpha \right)x=$$\ $$\frac{1}{\alpha}\left(\alpha x \right)=$$\ $$\frac{1}{\alpha}\cdot 0=$$\ $$0$

   [свернуть]
8. $\alpha x=$$\ $$\alpha y \wedge \alpha \neq 0 \Rightarrow x=$$\ $$y, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x,y \in X$
   
   Спойлер

   $\alpha x=$$\ $$\alpha y \Rightarrow \alpha x — \alpha y=0 \Rightarrow \alpha \left(x — y \right)=$$\ $$0 \Rightarrow x — y=$$\ $$0 \Rightarrow x=y$

   [свернуть]
9. $\alpha x=$$\ $$\beta y \wedge x \neq y \Rightarrow \alpha =$$\ $$\beta, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x,y \in X$
   
   Спойлер

   Доказывается по аналогии со следствием 8.

   [свернуть]

Примеры:

1. Пространства направленных отрезков, в частности, $V_{1}, V_{2}, V_{3}$
2. $\left(X, \mathbb P \right), X = M_{m\times n}\left(\mathbb P \right)$
3. $\left(X, \mathbb P \right),X = \mathbb P \left[x \right]$
4. $\left(X, \mathbb R \right), X = C_{\left[-1;1 \right]}$
5. $\left(\mathbb C, \mathbb R \right), X=\mathbb C, \mathbb P=\mathbb R$
6. $\left(\mathbb P, \mathbb P \right), X=\mathbb P, \mathbb P=\mathbb P$

Литература:

1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 11-13
3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 301