Определение площади поверхности вращения

Рассмотрим поверхность M, образованную вращением вокруг оси Ox, заданной на сегменте [a,b] функции y=f(x). Определим понятие квадрируемости поверхности вращения M. Пусть T — разбиение сегмента [a,b] точками a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=b , и пусть A_{0},…,A_{n} — соответствующие точки функции y=f(x). Построим ломанную A_{0}A_{1}...A_{n}. При вращении этой ломанной вокруг оси мы получим поверхность  M(A_{i}), составленную из боковых поверхностей усеченных конусов. Обозначим через  P(x_{i}) площадь поверхности  M(A_{i}). Если  y_{i} — ординаты f(x) в точках  x_{i}, а  l_{i} — длина звена  A_{i-1}A_{i} ломанной A_{0}A_{1}...A_{n}, то
 P(x_{i})=2\pi\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{y_{i-1}+y_{i}}{2}l_{i}=\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i-1}+y_{i})l_{i}
Сформулируем следующее определения.

  • Число P называется пределом площадей P(x_{i}), если \forall \epsilon>0 \exists \triangle>0 , что \forall разбиения T сегмента [a,b] , максимальная длина D частичных сегментов которого меньше \triangle выполняется неравенство |P(x_{i})-P|<\epsilon.
  • Поверхность вращения M называется квадрируемой, если \exists предел P площадей P(x_{i}) . При этом число P называется площадью поверхности M.
  • Литература

  • В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. 1982 год. Параграф 3, пункт 4. стр 378-379.
  • Вартанян Г. М. Конспект по математическому анализу.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Часть 2, 1964 год, Параграф 2, стр. 214-217.
  • Площадь поверхности вращения

    Поверхность вращения

    Таблица лучших: Площадь поверхности вращения

    максимум из 2 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *