Порядок группы

Порядок группы

Пусть $\left(G,*\right)$ — группа, если $G$ — конечное множество, то порядком группы называется число элементов $G$ и обозначается $\left|G \right|$ или $\mathrm{card}$ $G$. Если $G$ — бесконечно, то порядок бесконечен.

Порядок элемента группы

Пусть $\left(G,*\right)$ — произвольная группа и $a$ — некоторый ее элемент. Имеются две возможности:

1. Все степени элемента $a$ различны, то есть $m\neq n$ $\Rightarrow$ $a^{m} \neq a^{n}$. В этом случае говорят, что элемент $a\in G$ имеет бесконечный порядок.
2. Имеются совпадения $a^{m}=a^{n}$ при $m\neq n$. Если, например, $m>n$, то $a^{m-n}=e$, то есть существуют положительные степени элемента $a\in G$, равные единичному элементу. Пусть $q\ -$ наименьший положительный показатель, для которого $a^{q}=e.$ Тогда говорят, что $a$ — элемент конечного порядка $q$.

В конечной группе $\left(G,*\right)$ все элементы будут конечного порядка.

Порядок группы с циклическими подгруппами

Пусть $\left(G,*\right)$ — данная группа. Любой ее элемент порождает некоторую циклическую подгруппу. Если $\left(G,*\right)$ — конечная группа, то и все ее циклические подгруппы конечны. Порядок группы $\left(G,*\right)$ делится на порядок ее любой подгруппы, в частности, на порядок любой циклической подгруппы. Этот порядок равен порядку образующего элемента. Таким образом, верна следующая теорема.

Теорема

Порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента.

Примеры:

1. Пусть $\left(G,+ \right)$ — группа, где $G=\left\{1,2,3,4 \right\}$. Найти порядок группы.
   Ответ: $\left|G \right|=4$
2. Пусть $\left(G,* \right)$ — группа, где $G=\mathbb N$. Найти порядок группы.
   Ответ: $\left|G \right|=\infty$

Литература:

1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
2. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 247
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 142-143