Processing math: 100%

Алгебраическая форма комплексного числа


 

Определение

Комплексное число z, записанное в виде z=a+ib,
называется алгебраической формой комплексного числа, где

a и b — вещественные числа,
i — мнимая единица (i2=−1) ,
a=Re z — вещественная часть z,
b=Im z — мнимая часть z.

Действия над комплексными числами:

Пусть даны два числа:
z1=a+ib,
z2=c+id

  • Cравнение:
    z1=z2⇔(Re z1=Re z2)∧(Im z1=Im z2),
    т.е. (a=c)∧(b=d)
  • Сложение:
    z1+z2=(a+c)+i(b+d)
  • Вычитание:
    z1−z2=(a−c)+i(b−d)
  • Умножение:
    z1⋅z2=ac+bci+adi+bdi2
    =(ac−bd)+(ad+bc)i
  • Деление:
    z1z2=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)
    =ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2

Примеры действий над комплексными числами:

  • Найти сумму двух комплексных чисел z1 и z2, где
    z1=5+6i, z2=8−4i:

    z3=z1+z2 =(5+8)+(6−4)i
    z3=13+2i

  • Найти произведение двух комплексных чисел z1 и z2, где
    z1=4+3i, z2=7+2i:

    z3=z1⋅z2 =(4⋅7−3⋅2)+(4⋅2+3⋅7)i
    z3=22+29i

  • Упростить выражение (1+i)(3+i)(5−i)3−i:
    (1+i)(3+i)(5−i)3−i=(3+i+3i+i2)(5−i)3−i=
    =15+20i+5i2−3i−3i2−i33−i=
    т.к. i2=−1⇒i3=i2⋅i=−i
    =7+23i3−i=21−233+1+69+73+1i=
    =−12+19i

  • Найти решения уравнения (3+2i)x+(−2+4i)y=−8+16i:

    (3+2i)x+(−2+4i)y=−8+16i⇒
    3x+2xi−2y+4yi=−8+16i⇒
    (3x−2y)+(2x+4y)i=−8+16i⇒

    Приравняем вещественную и мнимую часть в левой и правой частях уравнения и составим систему уравнений:

    {3x−2y=−82x+4y=16⇒
    {x=8−2y3(8−2y)−2y=−8⇒
    {x=8−2y24−8y=−8⇒
    {x=8−2y8y=32⇒ {x=2y=3

    Ответ:  x=0; y=4

Литература:

  1. Курс лекций по линейной алгебре. Г.С. Белозеров
  2. А.Г. Курош, Курс высшей алгебры (девятое издание, Москва, 1968), стр. 114-116

 

Алгебраическая форма комплексного числа

Тест на знание темы: «Алгебраическая форма комплексного числа»


Таблица лучших: Алгебраическая форма комплексного числа

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *