Определение
Бинарной алгебраической операцией (БАО), действующей на множестве A называется отображение:
∗:A2→A.
Примеры
- Операции + и ⋅ на множествах Z,Q,R.
- В качестве множества A в условиях вышеуказанного определения возьмём множество Z, и определим ∀a,b∈Aa∗bdef=(a+b)2. Тогда операция ∗ является бинарной алгебраической операцией.
- Операция ∖ на множестве R не является БАО, т.к. нельзя делить на ноль. Но она является БАО на множестве R∖{0}.
- Операция ∗, заданная на Z следующим образом — ∀a,b∈Za∗b=ab — не является алгебраичной, т.к. результат 1∗(−3)=1−3∉Z.
Проверка на алгебраичность
Для того, чтобы проверить, является ли данное отображение бинарной алгебраической операцией, достаточно проверить три условия:
- Всюдуопределённость: ∀a,b∈A∃c=a∗b.
- Однозначность: ∀a,b∈A∃!c=a∗b.
- Замкнутость: ∀a,b∈Aa∗b=c∈A.
Пример
Проверить, является ли отношение бинарной алгебраической операцией на множестве Z6={0,1,2,3,4,5}, если ∀a,b∈Aa∗bdef=a⋅b(mod6) (умножение по модулю 6).
Так как множество, на котором задано отношение, конечно, мы можем построить таблицу Кэлли (таблицу значений).
Расположим по вертикали и горизонтали элементы множества Z6, а на их пересечении — результат операции ∗. Получим таблицу:
| a*b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 0 | 2 | 4 |
| 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| 4 | 0 | 4 | 2 | 0 | 4 | 2 |
| 5 | 0 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Исходя из таблицы, видно, что область значения операции совпадает с исходным множеством Z6 (выполняется замкнутость), в каждой клетке только один результирующий элемент (выполняется однозначность), и каждая клетка непустая (выполняется всюдуопредлённость).
Следовательно, указанное отображение ∗ является бинарной алгебраической операцией на множестве Z6.
Свойства БАО
Бинарная алгебраическая операция может обладать такими свойствами:
- Бинарная алгебраическая операция ∗, заданная на множестве A называется ассоциативной, если ∀a1,a2,a3∈A(a1∗a2)∗a3=a1∗(a2∗a3).
- Бинарная алгебраическая операция ∗, заданная на множестве A называется коммутативной, если ∀a1,a2∈Aa1∗a2=a2∗a1.
Примеры
- Операции +, ⋅ на множествах Z,Q,R,N являются коммутативными и ассоциативными.
- Операция ∖ на множестве R∖{0} не является коммутативной.
Пример решения №1
Определить, является ли бинарная алгебраическая операция ∗ на множестве Z коммутативной и/или ассоциативной.
∀a,b∈Za∗bdef=a(b+1)
Очевидно, что a(b+1)≠b(a+1), следовательно, операция ∗ коммутативной не является. Проверим ассоциативность (фиксируя \forall a,b,c \in \mathbb{Z}):
a∗(b∗c)=a∗(b(c+1))=a(b(c+1)+1)=abc+ab+a
В свою очередь,
(a∗b)∗c=(a(b+1))∗c=a(b+1)(c+1)=abc+ab+ac+a.
Видим, что a∗(b∗c)≠(a∗b)∗c. Таким образом делаем вывод, что операция ∗ не ассоциативна.
Пример решения №2
Определить, является ли бинарная алгебраическая операция ∗ на множестве Z2 коммутативной и/или ассоциативной.
∀(a1,a2),(b1,b2)∈Z2(a1,a2)∗(b1,b2)def=(a1b1,a2b1+b2)
Рассмотрим при ∀(a1,a2),(b1,b2),(c1,c2)∈Z2:
((a1,a2)∗(b1,b2))∗(c1,c2)=(a1b1c1,(a2b1+b2)c1+c2)
(a1,a2)∗((b1,b2)∗(c1,c2))=(a1b1c1,(a2b1+b2)c1+c2)
Исходя из этого, сделаем вывод, что операция ∗ является ассоциативной. Из вида операции, представленного в условии, очевидно, что ∗ не является коммутативной.
Список литературы
- Белозёров Г.С. Конспект по алгебре и геометрии.
- А. Я. Овсянников — Алгебраические операции (темы 1-4). Екатеринбург, Уральский федеральный университет.
- Воеводин В. В. — Линейная алгебра. Москва: Наука, 1974. (стр 9-13).
Бинарная алгебраическая операция
Тест предназначен для проверки знаний по теме «Алгебраическая операция. Исследование свойств операции».
