Критерии ЛЗ и ЛНЗ

Теорема (критерий ЛНЗ)

Система векторов S=<a_{1},a_{2},..,a_{n}> линейно независима тогда и только тогда, когда из равенства

\alpha_{1} a_{1}+\alpha_{2}a_{2}+...+\alpha_{n}a_{n}=0

следует равенство нулю всех коэффициентов линейной комбинации

(\alpha_{1}=\alpha_{2}=...=\alpha_{n}=0 ).

Доказательство

Необходимость. Пусть система векторов S=<a_{1},a_{2},..,a_{n}>  линейно независима, но существуют числа \alpha_{1},...,\alpha_{n}, не все равные нулю, такие, что

\alpha_{1} a_{1}+\alpha_{2}a_{2}+...+\alpha_{n}a_{n}=0

Допустим, что \alpha_{k} \neq 0. Тогда из этого равенства a_{k} определяется как линейная комбинация остальных векторов из a_{1},...,a_{n}. Это означает, что система векторов S=<a_{1},a_{2},..,a_{n}>, согласно определению, линейно зависима, что противоречит предположению.

Достаточность. Пусть теперь указанное выше равенство выполняется только тогда, когда все числа \alpha_{1},...,\alpha_{n} равны нулю. Предположим, однако, что система векторов S=<a_{1},a_{2},..,a_{n}> линейно зависима. Это означает, что один из векторов a_{k} линейно выражается через остальные, т.е.

a_{k}=\alpha_{1}a_{1}+...+\alpha_{k-1}a_{k-1}+\alpha_{k+1}a_{k+1}+...+\alpha_{n}a_{n}

Но тогда

\alpha_{1}a_{1}+...+\alpha_{k-1}a_{k-1}+(-1)a_{k}+\alpha_{k+1}a_{k+1}+...+\alpha_{n}a_{n}

и не все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю, что противоречит условию. Поэтому система векторов S=<a_{1},a_{2},..,a_{n}> линейно независима.

Пример

Проверить является ли система S=<(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)> линейно независимой.

Составим линейную комбинацию из векторов системы:

\alpha_{1}(1,0,0)+\alpha_{2}(0,1,0)+\alpha_{3}(0,0,1)=0\Rightarrow (\alpha_{1},0,0)+(0,\alpha_{2},0)+(0,0,\alpha_{3})=0\Rightarrow (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})=0\Rightarrow \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0

Т.е. система S=<(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)> линейно независима по критерию ЛНЗ.

Теорема (первый критерий ЛЗ)

Система S=<a_{1},a_{2},..,a_{n}> линейно зависима тогда и только тогда, когда существует линейная комбинация \alpha_{1} a_{1}+\alpha_{2}a_{2}+...+\alpha_{n}a_{n}=0 с ненулевым набором коэффициентов.

Пример

Проверить является ли система S=<(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0)> линейно независимой.

Составим линейную комбинацию из векторов системы:

\alpha_{1}(1,0,0)+\alpha_{2}(0,2,0)+\alpha_{3}(1,2,0)=0\Rightarrow (\alpha_{1},0,0)+(0,2\alpha_{2},0)+(\alpha_{3},2\alpha_{3},0)=0\Rightarrow (\alpha_{1}+\alpha_{3},2\alpha_{2}+2\alpha_{3},0)=0

При \alpha_{1}=1 и \alpha_{3}=-1 линейная комбинация равна нулю, т.е. система линейно зависима по первому критерию.

Теорема (второй критерий ЛЗ)

Векторы a_{1},a_{2},...,a_{n} линейно зависимы тогда и только тогда, когда либо a_{1}=0, либо некоторый вектор a_{k}, 2\leq k\leq n, является линейной комбинацией предшествующих векторов.

Доказательство

Предположим, что векторы a_{1},a_{2},...,a_{n} линейно зависимы. Тогда в линейной комбинации, составленной из этих векторов не все коэффициенты равны нулю. Пусть последний ненулевой коэффициент есть \alpha_{k}. Если k=1, то это означает, что a_{1}=0. Пусть теперь k>1. Тогда из равенства \alpha_{1} a_{1}+\alpha_{2}a_{2}+...+\alpha_{n}a_{n}=0 находим, что

a_{k}=\left ( -\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{k}}\right )a_{1}+\left ( -\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{k}} \right )a_{k}+...+\left ( -\frac{\alpha_{k-1}}{\alpha_{k}} \right )a_{k-1}

Этим доказана необходимость утверждения, сформулированного в теореме. Достаточность очевидна, поскольку и случай, когда a_{1}=0, и случай, когда вектор a_{k} линейно выражается через предшествующие векторы, означает линейную зависимость первых векторов из a_{1},a_{2},...,a_{n}. Но отсюда следует линейная зависимость и всей системы векторов.

Пример

Проверить является ли система S=<(1,0,0),(0,2,0),(1,4,0)> линейно независимой.

Данная система является линейно зависимой по второму критерию, т.к. третий вектор является линейной комбинацией первых двух:

(1,4,0)=(1,0,0)+2\cdot(0,2,0)

 Литература

Критерии ЛЗ и ЛНЗ

Тест для проверки знаний по теме: «Критерии линейной зависимости и линейной независимости»

Таблица лучших: Критерии ЛЗ и ЛНЗ

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *