Множество $X$ называется подмножеством множества $Y$, если любой элемент множества $X\in\ Y$. Принято обозначать это следующим образом: $X\subseteq\ Y$.
Если необходимо указать, что $Y$ содержит и другие элементы, а не только элементы множества $X$, то принято использовать символ строгого включения $\subset\ : X\subset\ Y$.
Связь между символами строгого и не строгого включения ($\subset$ и $\subseteq$) показана выражением:
$$X\subset\ Y\Leftrightarrow\ X\subseteq\ Y \ и \ X\ne\ Y$$
Выделим некоторые свойства, которые вытекают из определения:
- $X\subseteq\ X$ (рефлексивность);
- $\left[X\subseteq\ Y \ и \ Y\subseteq\ Z\right] \Rightarrow\ X\subseteq\ Z$ (транзитивность);
- $\varnothing\ \subseteq\ M$. Отметим, что пустое множество является подмножеством любого подмножества.
Начальное множество $A$ по отношению к его подмножествам является полным множеством и его принято обозначать $I$.
Собственное множество множества $A$ — это любое подмножество $A_i$ множества $A$.
Булеаном множества $X$ — называется множество, состоящее из всех подмножеств данного множества $X$ и пустого множества $\varnothing$. Принято обозначать как $\beta(X)$. Множество булеана $\left|\beta(X)\right|=2^n$.
Счетное множество — это множество $A$, которое совпадает по мощности с множеством натуральных чисел $N$. Другими словами — если множество, эквивалентно множеству натуральных чисел, то оно называется счетным множеством.
Множество $A$ называется несчётным, если оно бесконечно и не является счётным.
Существует 2 основных способа задания множеств.
- Перечислением$(X=\left\{a,b\right\}, Y=\left\{1\right\}, Z=\left\{1,2,…,8\right\}, M=\left\{m_{1},m_{2},m_{3},..,m_{n}\right\})$;
- Описанием — указываются характерные свойства , которыми обладают все элементы множества.
Множество полностью определено своими элементами.
Конечные множества можно задать только перечислением их элементов (например, множество дней в месяце).
Для задания бесконечных множеств нужно описать свойства их элементов (например, множество рациональных чисел можно задать описанием $Q=\left\{n/m, \ m, \ n\in\ z, \ m\ne\ 0\right\}$.
Подмножеством множества $A$ можно рассматривать само множество $A$ и пустое множество $\varnothing$. Эти два подмножества называются несобственными. Остальные подмножества множества $A$ будут называться собственными.
Литература:
- Конспект лекций Г.С. Белозерова
- Линейная алгебра. Воеводин В.В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980, с.9-13
- Лекции по общей алгебре (издание второе). Курош А.Г. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973, с.14-17