Алгебраическая форма комплексного числа


 

Определение

Комплексное число $z$, записанное в виде $z=a+ib$,
называется алгебраической формой комплексного числа, где

$a$ и $b$ — вещественные числа,
$i$ — мнимая единица ($i^{2}=-1$) ,
$a=\mathrm{Re}\ z$ — вещественная часть $z$,
$b=\mathrm{Im}\ z$ — мнимая часть $z$.

Действия над комплексными числами:

Пусть даны два числа:
z_{1}=a+ib,
z_{2}=c+id

  • Cравнение:
    $z_{1}=z_{2} \Leftrightarrow (\mathrm{Re}\ z_{1}=\mathrm{Re}\ z_{2})\wedge( \mathrm{Im}\ z_{1}=\mathrm{Im}\ z_{2})$,
    т.е. $(a=c)\wedge(b=d)$
  • Сложение:
    $z_{1}+z_{2}=(a+c)+i(b+d)$
  • Вычитание:
    $z_{1}-z_{2}=(a-c)+i(b-d)$
  • Умножение:
    $z_{1} \cdot z_{2}=ac+bci+adi+bdi^{2}$
    $=(ac-bd)+(ad+bc)i$
  • Деление:
    $ \large\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}$
    $ \large =\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}$

Примеры действий над комплексными числами:

  • Найти сумму двух комплексных чисел $z_{1}$ и $z_{2}$, где
    $z_{1}=5+6i$, $\, z_{2}=8-4i$:

    $z_{3}=z_{1}+z_{2}$ $=(5+8)+(6-4)i$
    $z_{3}=13+2i$

  • Найти произведение двух комплексных чисел $z_{1}$ и $z_{2}$, где
    $z_{1}=4+3i$, $\, z_{2}=7+2i$:

    $z_{3}=z_{1} \cdot z_{2}$ $=(4 \cdot 7-3 \cdot 2)+(4 \cdot 2+3 \cdot 7)i$
    $z_{3}=22+29i \\ $

  • Упростить выражение $ \large\frac{(1+i)(3+i)(5-i)}{3-i} \\$:
    $ \large \frac{(1+i)(3+i)(5-i)}{3-i}=\frac{(3+i+3i+i^{2})(5-i)}{3-i}= \\$
    $ \large = \frac{15+20i+5i^{2}-3i-3i^{2}-i^{3}}{3-i}=\\ $
    т.к. $\, \large i^{2}=-1 \Rightarrow i^{3}=i^{2} \cdot i=-i \\$
    $ \large = \frac{7+23i}{3-i}= \frac{21-23}{3+1}+\frac{69+7}{3+1}i =\\$
    $ = -\frac{1}{2}+19i $
  • $\quad$

  • Найти решения уравнения $(3+2i)x+(-2+4i)y=-8+16i$:
    $\quad$
    $(3+2i)x+(-2+4i)y=-8+16i \Rightarrow $
    $3x+2xi-2y+4yi=-8+16i\Rightarrow$
    $(3x-2y)+(2x+4y)i=-8+16i\Rightarrow$

    Приравняем вещественную и мнимую часть в левой и правой частях уравнения и составим систему уравнений:

    $ \begin{cases}3x-2y=-8\\ 2x+4y=16\end{cases} \Rightarrow $
    $ \begin{cases}x=8-2y\\ 3(8-2y)-2y=-8\end{cases} \Rightarrow $
    $ \begin{cases}x=8-2y\\ 24-8y=-8\end{cases} \Rightarrow $
    $ \begin{cases}x=8-2y\\ 8y=32\end{cases} \Rightarrow $ $ \begin{cases}x=2\\ y= 3\end{cases} $

    Ответ: $ \ x=0$; $\, y=4$

Литература:

  1. Курс лекций по линейной алгебре. Г.С. Белозеров
  2. А.Г. Курош, Курс высшей алгебры (девятое издание, Москва, 1968), стр. 114-116

 

Алгебраическая форма комплексного числа

Тест на знание темы: «Алгебраическая форма комплексного числа»


Таблица лучших: Алгебраическая форма комплексного числа

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *