Симметрическая группа

Перестановкой $n$ элементов называется биекция $n$- элементного множества на себя. Умножение перестановок проводится согласно правилу композиции отображений: $(\sigma \tau)=\sigma(\tau (i))$, где $\sigma, \tau \in S_{n}$.

Для $\sigma =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\2 & 3 & 4 & 1\end{pmatrix}, \tau =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\4 & 3& 2 & 1\end{pmatrix}$ получим:

$\sigma \tau=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\2 & 3 & 4&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\1 & 4 & 3 & 2\end{pmatrix}$, а

$\tau\sigma=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3& 4\\2 & 3 & 4 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\3 & 2 & 1 & 4\end{pmatrix}$, следовательно
$\sigma\tau\neq\tau\sigma$.

Рассмотрим некоторые свойства умножения перестановок, а именно:

1. ассоциативность, т. е. $(\alpha \beta )\gamma =\alpha (\beta \gamma ) \forall \alpha, \beta, \gamma\in S_{n}$;
2. наличие единичного элемента $e$ такого, что $\pi e=\pi=e\pi$, где $\pi$- произвольная перестановка;
3. $\forall \pi\in S_{n} \exists \pi^{-1}: \pi \pi^{-1}=\pi^{-1}\pi =e$.

Отсюда следует определение группы $S_{n}$:
Множество $S_{n}$, рассматриваемое вместе с естественной операцией умножения его элементов (композицией перестановок), называется симметрической группой степени $n$.

Основные свойства $S_{n}$:

1. $S_{n}$ — некоммутативна (при $n\leq 3$);
2. $S_{n}$ — неразрешима (при $n\geq 5$);
3. $S_{n} —$разрешима (при $n\leq 4$);
4. Порядок симметрической группы перестановок (число элементов) $S_{n}$ равен $n!$, т. е. $|S_{n}|=n!$;
5. Порядок подгруппы группы $S_{n}$, образованной множеством всех четных перестановок равен $(\frac{n}{2})!$;
6. Каждая конечная группа $G$ изоморфна некоторой подгруппе группы $S(G)$ (теорема Кэли).

Рассмотрим симметрическую группу перестановок $S_{3}$:

$e=\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\1& 2 & 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\1& 3 & 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\2& 1 & 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\2& 3 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\3& 1 & 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\3& 2 & 1\end{pmatrix}$

Порядок группы $|S_{3}|=3!=6$.

Пример: Граф Кэли симметрической группы $S_{4}$.

Список использованной литературы:

• Курош А. Г. Курс высшей алгебры- К. : Лань, 2004. — 431 с. (с.392).
• Кострикин А. И. Введение в алгебру- К. : ФИЗМАТЛИТ, 1994. — 272 с. (с. 50)

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Подведение итогов.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 5

   Чему равен порядок симметрической группы $|S_{4}|$?
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 5

   Определение:

   • Симметрической группой степени называется (множество), рассматриваемое вместе с естественной операцией умножения его элементов (композицией перестановок).
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 1

   Выберите правильные утверждения:

   • $S_{n}$- коммутативна (при $n\leq 3$);
   • $S_{n}$-неразрешима (при $n\geq 5$);
   • Порядок симметрической группы перестановок (число элементов) $S_{n}$ равен $n!$;
   • Существует единственная конечная группа $G$, которая изоморфна некоторой подгруппе группы $S(G)$;
   Правильно
   

   Неправильно