Делители нуля

Делители нуля

Пусть R кольцо, a, b\in R, a,b\ne 0, a\cdot b = 0. Числа a,b  называются делителями нуля кольца R, причем a — левый делитель нуля, b — правый делитель нуля.

Пример 1:

(C_{[-1;1]},+,\cdot) — кольцо непрерывных функций на промежутке [-1,1].

f(x)=\begin{cases} x, 0\le x\le 1;\\ 0, -1\le x\le 0.\end{cases}

g(x)=\begin{cases} -x, -1\le x\le 0;\\ 0, 0\le x\le 1.\end{cases}

f(x)\cdot g(x)=0

Пример 2:

Пусть дано P=(M_{2}(R),+,\cdot)

\begin{pmatrix} 1&1\\ 2&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1&1\\ 1&-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&1\\ 2&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&-1\\ -1&1\end{pmatrix}

Из равенства видно, что в  кольце P  присутствуют делители нуля. Как следствие этого, мы можем наблюдать невозможность сокращения обоих частей равенства, так как это приведет нас к неверному равенству, то есть в кольце P не действует закон сокращения. Если же в кольце P нет делителей нуля, то

a\cdot b=a\cdot c, a\ne 0 \Rightarrow b=c — закон сокращения.

Литература:

Делители нуля

Тест


 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *