Определение

Квадратичной формой $Q\left(x_{1}, x_{2}, …, x_{n} \right)$ от $n$ неизвестных $x_{1}, x_{2}, …, x_{n}$ называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.

Обозначая коэффициент при $x_{i}^{2}$ через $a_{ii}$ , а при произведении $x_{i}x_{j}=x_{j}x_{i}\left(i\neq j \right)$ — через $a_{ij}+a_{ji}\left(a_{ij}=a_{ji} \right)$ , квадратичную форму $Q$ можно представить в виде

$Q\left(x_{1}, x_{2}, …, x_{n} \right) = a_{11}x_{1}^{2}+a_{12}x_{1}x_{2}+…+a_{1n}x_{1}x_{n}+…+a_{n1}x_{n}x_{1}+a_{n2}x_{n}x_{2}+…+a_{nn}x_{n}^{2}=\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}x_{i}x_{j}}}$

Симметричная матрица $A= \left(a_{ij} \right)$ называется матрицей квадратичной формы $Q$ .

Примеры

Пример 1

Написать матрицу квадратичной формы.
$Q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3} \right) = 2x_{1}^{2}-5x_{2}^{2}+8x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}+6x_{2}x_{3}$

Пример 2

Написать квадратичную форму по её матрице.
$A=\begin{pmatrix}4 & 0& 2\\ 0& 7 & 1\\ 2&1 &-5 \end{pmatrix}$

[spoilergroup]

Пример 1

$A=\begin{pmatrix}2 & 2& -1\\ 2& -5 & 3\\ -2&3 &8 \end{pmatrix}$

[свернуть]

Пример 2

$Q\left(x_{1}, x_{2},x_{3} \right) = 4x_{1}^{2}+7x_{2}^{2}-5x_{3}^{2}+4x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}$

[свернуть]

[/spoilergroup]

Литература

Тест на знание квадратичной формы

Тест на умение распознать квадратичную форму и составить для неё матрицу квадратичной формы, а также наоборот — написать квадратичную форму по её матрице.

Матрицам квадратичных форм поставить в соответствие их квадратичные формы.

Элементы сортировки

$Q\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}-3x_{1}x_{2}$
$Q\left(x_{1},x_{2}\right)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}-3x_{1}x_{2}$
$Q\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=5x_{3}^{2}+2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3}$
$Q\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=6x_{1}^{2}-7x_{3}^{2}+10x_{1}x_{3}$

$A=\begin{pmatrix}1&-1.5&0\\-1.5&2&0\\0&0&0\end{pmatrix}$

$A=\begin{pmatrix}1&-1.5\\-1.5&2\end{pmatrix}$

$A=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&2\\1&2&5\end{pmatrix}$

$A=\begin{pmatrix}6&0&5\\0&0&0\\5&0&-7\end{pmatrix}$

Задание 2 из 3

2.
Какие из выражений, приведённых ниже, являются квадратичными формами?
- $Q\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=x_{1}^{2}-2x_{2}^{2}+3x_{1}x_{3}$
- $Q\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=2x_{1}^{2}+4x_{1}x_{2}+7$
- $Q\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=x_{2}^{2}$
- $Q\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=x_{1}^{2}x_{3}^{2}+2x_{1}x_{3}-7x_{2}x_{3}$
- $Q\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=x_{1}^{2}-7x_{1}x_{2}-8x_{3}$
Задание 3 из 3

3.
Какая из матриц, приведённых ниже, соответствует квадратичной форме $Q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3} \right) = x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}-7x_{2}x_{3}$ ?
- $A=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&4&-3.5\\-2&-3.5&0\end{pmatrix}$
- $A=\begin{pmatrix}2&4&0\\4&-7&0\\0&0&-7\end{pmatrix}$
- $A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&4&-3.5\\0&-3.5&0\end{pmatrix}$

Добавить комментарий

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение квадратичной формы

Определение

Примеры

Пример 1

Пример 2

Тест на знание квадратичной формы

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

Добавить комментарий Отменить ответ

Средний результат
Ваш результат