M1916. О делении равностороннего треугольника на 25 равносторонних

Задача из журнала «Квант» (2004, №4)

Условие

Равносторонний треугольник разрезан на 25 равносторонних треугольников, лишь один из которых имеет отличную от 1 площадь. Какую?

Решение

Поменяем формулировку задачи на эквивалентную, но более удобную для изложения решения:

Исходный равносторонний треугольник \Delta разрезан на 25 равносторонних треугольников, только у одного из которых — обозначим его \Delta_{1} — длина стороны k\neq 1. Требуется найти k.

Если длина стороны какого-либо равностороннего треугольника есть целое число a, то этот треугольник можно разрезать на a^{2} равносторонних треугольников, у каждого из которых длина стороны 1.

Хотя бы к одной стороне треугольника \Delta не примыкает треугольник \Delta_{1}, а значит, примыкают только треугольники со сторонами 1, т.е. длина стороны \Delta — целое число n. Точно так же можно рассудить что длина треугольника \Delta_{1} -целое число k. После чего можно записать равенство n^{2}-k^{2}=24. Это целочисленное уравнение, с учетом того, что  k\neq 1, имеет только одно удовлетворяющее нас решение: n=7, k=5. У этого решения возможны два воплощения (см. рисунок). На вопрос «какую?» отвечаем: 25.

M1916

В.Произволов

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *