Пусть дана последовательность $a_1, a_2,…, a_n,…$ , где $a_i\epsilon \mathbb{R}, i \epsilon \mathbb{N}$

Символ вида (*) $a_1+a_2+…+a_n+…$ называется числовым рядом и обозначается $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ , при этом $a_n$ называется общим членом ряда. Ряд (*) называется сходящимся, если существует предел $\lim_{n \to \infty }S_n$ , где $S_n$ это n-ая частичная сумма ряда, $S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ .

При этом, число $S=\lim_{n \to \infty }S_n$ называется суммой ряда, и пишут $S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ .

Если же предел частичных сумм $\lim_{n \to \infty }S_n$ не существует или бесконечен, то говорят, что ряд (*) расходится и никакой суммы ряду не присваивается.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

$q+q^{2}+…+q^{n}+…$

Запишем n-ю частичную сумму и с упростим выражение с помощью формулы суммы геометрической прогрессии.

$S_n=q+q^{2}+…+q^{n}=\frac{q(1-q^{n})}{1-q}$ ,

$|q|\neq1$

$\lim\limits_{n \to \infty}S_n=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{q(1-q^{n})}{1-q}=\frac{q}{1-q}$ , при

$|q|<1$

$\lim\limits_{n \to \infty}S_n=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{q(1-q^{n})}{1-q}=\infty$ , при

$|q|>1$ .

$\lim\limits_{n \to \infty}S_n=\lim\limits_{n \to \infty}n=\infty$ , при

$q=1$ .

$\lim\limits_{n \to \infty}S_n$ не существует, при

$q=-1$ .

Таким образом, при $|q|<1$ ряд сходится, а при $|q|\geq1$ — расходится.

Необходимое условие сходимости числового ряда

Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится, то необходимо $\lim_{n \to \infty}a_n=0$ .

Доказательство.

Если ряд сходится, то $\exists \lim_{n \to \infty}S_n=S$ , следовательно $\exists \lim_{n \to \infty}S_{n-1}=S$ .

Рассмотрим $\lim_{n \to \infty}(S_{n-1}-S_n)=S-S=0$ , где $S_{n-1}-S_n=a_n$ , $a_n$ — общий член ряда, $\lim_{n \to \infty}a_n=0$ . Теорема доказана.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2n-1}$ .

Необходимое условие не выполняется: $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n}{2n-1}=\frac{1}{2}\neq 0$ . Следовательно, ряд расходится.

Литература

Сходящиеся и расходящиеся ряды

Тест на проверку знаний о сходящихся и расходящихся рядах, а также необходимого условия сходимости.

— Не правильно записана в laTeX функция логарифма натурального в тесте «Среди следующих рядов выбрать те, что». В этом же тесте проверьте правильно ли Вы проставили верные и ошибочные варианты. Мне кажется там есть ошибки.

Ответить

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Необходимое условие сходимости

Необходимое условие сходимости числового ряда

Сходящиеся и расходящиеся ряды

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Подсказка

2.

3.

Элементы сортировки

4.

5.

6.

Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Необходимое условие сходимости: 1 комментарий

Добавить комментарий Отменить ответ

Средний результат
Ваш результат