M1916. О делении равностороннего треугольника на 25 равносторонних

Решение

Поменяем формулировку задачи на эквивалентную, но более удобную для изложения решения:

Исходный равносторонний треугольник $\Delta$ разрезан на 25 равносторонних треугольников, только у одного из которых — обозначим его $\Delta_{1}$ — длина стороны $k\neq 1$. Требуется найти $k$.

Если длина стороны какого-либо равностороннего треугольника есть целое число $a$, то этот треугольник можно разрезать на $a^{2}$ равносторонних треугольников, у каждого из которых длина стороны $1$.

Хотя бы к одной стороне треугольника $\Delta$ не примыкает треугольник $\Delta_{1}$, а значит, примыкают только треугольники со сторонами $1$, т.е. длина стороны $\Delta$ — целое число $n$. Точно так же можно рассудить что длина треугольника $\Delta_{1}$ -целое число $k$. После чего можно записать равенство $n^{2}-k^{2}=24$. Это целочисленное уравнение, с учетом того, что  $k\neq 1$, имеет только одно удовлетворяющее нас решение: $n=7, k=5$. У этого решения возможны два воплощения (см. рисунок). На вопрос «какую?» отвечаем: $25$.