Условие

В вершины правильного n-угольника из его центра проведены n векторов из них выбраны несколько (не все), сумма которых равна нулю.Докажите, что концы некоторой части выбранной совокупности векторов образуют правильный многоугольник (две симметричные относительно центра точки считаются правильным «двуугольником»), если :

1.  $n = 6$;
2.  $n = 8$;
3.  $n = 9$;
4. $n = 12$.
5. Будет ли аналогичное утверждение, верным при любом $n$?

Автор задачи: В. Сендеров.

Решение

Ответ на общий вопрос 5) отрицательный. Приведем пример для $n = 30$, т.е. укажем «неправильную» систему векторов, ведущих из центра $O = (0; 0)$ в некоторые вершины тридцатиугольника, сумма которых равана нулю, среди среди которых нет k векторов, ведущих в вершины правильного k-угольника при $k = 2, 3$ и $5$ (а тем самым и при любом k, не превосходящем 30).
Пусть $A(1; 0)$ — одна из вершин тридцатиугольника, тогда $B(-1; 0)$ — противоположная вершина. Направим векторы в вершины правильного пятиугольника, одна из которых $A$, и в вершины правильного треугольника, одна из которых $B$, а затем удалим векторы $\underset{OA}{\rightarrow}$, $\underset{OB}{\rightarrow}$ (они дают в сумме нуль). Оставшиеся шесть векторов (см. рисунок) составляют нужную систему.

Разумеется, здесь (и ниже) вы используем тот факт, что сумма k векторов, ведущих в вершины правильного k-угольника из его центра, равна нулю; это следует, например, из того, что сумма не меняется при повороте всей картины вокруг центра на угол $\frac {2\pi}{k}$. Заметим, что для проекций векторов, один из которых имеет координаты $(0; 1)$, этот факт по существу эквивалентен тождеству

$$1 + \cos \frac{2\pi}{k} + \cos \frac{4\pi}{k} + … + \cos \frac{2(k-1)\pi}{k} = 0$$
(для четного $k$ оно очевидно, для любого $k$ легко доказывается после умножения на $\sin \frac{\pi}{k}$ ). Аналогично, в примере на рисунке можно провести доказательство прямым подсчетом: чтобы убедиться, что сумма векторов равна нулю, нужно проверить тождество $\cos \frac{2\pi}{5} + \cos \frac{4\pi}{5} = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ (здесь удобно домножить левую часть на $\sin \frac{\pi}{5}$).
<p>Перейдем теперь к отрицательным результатам 1) — 4), показывающим, что для малых n такой пример не построить. Сформулируем простую лемму. Пусть $\underset{OA}{\rightarrow}$, $\underset{OB}{\rightarrow}$, $\underset{OC}{\rightarrow}$ и $\underset{OD}{\rightarrow}$ — различные единичные векторы. Тогда:

1. если $\underset{OA}{\rightarrow} + \underset{OB}{\rightarrow} + \underset{OC}{\rightarrow} = \underset{0}{\rightarrow}$, то $A$, $B$, $C$ — вершины правильного треугольника;
2.  если $\underset{OA}{\rightarrow} + \underset{OB}{\rightarrow} + \underset{OC}{\rightarrow} + \underset{OD}{\rightarrow} = \underset{0}{\rightarrow}$, то векторы разбиваются на две пары взаимно противоположных (т.е. $A$, $B$, $C$, $D$ являются вершинами прямоугольника).

Докажем 2. Пусть точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на окружности в указанном порядке. Тогда из равенства
$\frac{\underset{OA}{\rightarrow} + \underset{OB}{\rightarrow}}{2} + \frac{\underset{OC}{\rightarrow} + \underset{OD}{\rightarrow}}{2} = \underset{0}{\rightarrow}$ следует, что середины хорд $AB$ и $CD$ равноудалены от $O$, откуда $AB = CD$; аналогично, $BC = DA$, так что $ABCD$ — вписанный параллелограмм, т.е. прямоугольник. Доказательство 1 еще проще: из равенств вида $\frac{\underset{OB}{\rightarrow} + \underset{OC}{\rightarrow}}{2} = -\frac{\underset{OA}{\rightarrow}}{2}$ ясно, что середины хорд $BC$, $CA$ и $AB$ равноудалены от точки $O$. Значит, $BC = CA = AB$.
При $n <= 9$ в системе векторов, о которой идет речь в задаче, либо в дополняющей ее до $n$ системе не более четырех векторов. По лемме, эту систему можно разбить на правильные k-угольники ($k = 2$ или $k = 3$).
Значит, этим же свойством обладает и дополнительная система вершин.
Тем самым, пункты 1) — 3) задачи решены.
В пункте 4) можно рассуждать так. Пусть система содержит вектор $(1; 0)$ и не содержит противоположный вектор $(-1; 0)$. Докажем, что тогда она содержит и векторы $(\cos \frac{2\pi}{3}; \pm \sin {2\pi}{3})$.
В самом деле, среди наших 10 векторов (не считая $(1; 0)$ и противоположного) три пары дают в проекции на ось $Ox$ рациональные числа

$$\cos (\pm \frac{\pi}{3}) = \frac {1}{2}, \cos (\pm \frac {2\pi}{3}) = — \frac {1}{2}, \cos (\pm \frac {\pi}{2}) = 0$$ ,
две пары — иррациональные числа; ясно, что получить в сумме из этих чисел нужную минус единицу можно, лишь используя две $(-1/2)$.
Используя результаты статьи «Многочлены деления круга» («Квант» №1, 1998), нетрудно доказать, что при $n = p$ и $n = 2p$, где $p$ — простое число, нетривиальных систем векторов с суммой нуль не существует, а при любом $n$, имеющем не менее трех разных простых множителей, такая система существует.
Один из способов построения нужных примеров — использование корней многочленов деления круга с коэффициентами $+1$ и $-1$; например, равенство многочлена ${\Phi}_{15}(\xi) = 0$, где $\xi$ — один из корней ${\Phi}_{15}$, дает пример «неправильной семерки» векторов. Оно же позволяет получить такую же шестерку векторов, как на рисунке.
Однако остается немало вопросов, связанных с этой задачей.
Например, существует ли пример для $n = 15$ (из сказанного выше следует, что для $n < 15$ его нет), для $n$ вида ${p}^{a}$ и ${p}^{a} * {q}^{b}$, где p и q простые? Существует ли для некоторого $n$ неправильная система из 5 векторов , идущих в вершины правильного n-угольника, суммой нуль (не содержащая меньших правильных подсистем)? Возможно ли система, которую, в отличие от построенных выше примеров, нельзя получить не только как «сумму», но и как «алгебраическую сумму» (т.е. «сложением» и «вычитанием») правильных подсистем?

Авторы решения: Н. Васильев, В. Сендеров.