Processing math: 100%

Формула конечных приращений Лагранжа

Определение

Выпуклой областью называется открытое множество, любые две точки которого можно соединить отрезком, лежащим в области.

Теорема (Формула конечных приращений Лагранжа)

Пусть функция f(x) дифференцируема в выпуклой области G⊂Rn. Тогда для любых двух точек x=(x1,…,xn)∈G, y=(y1,…,yn)∈G найдется такое число θ∈(0,1), что
f(y)−f(x)=n∑i=1∂f∂xi(x+θ(y−x)(yi−xi)).          (1)

Формула (1) называется формулой конечных приращений Лагранжа.

Доказательство

Пусть точки x,y∈G. Так как область G выпукла, то отрезок, соединяющий точки x и y, лежит в области G. Поэтому определена функция одной переменной:

φ(t)=f(x1+t(y1−x1),…,xn+t(yn−xn)),0⩽t⩽1. (2)

По теореме о производной сложной функции φ(t) — дифференцирума на отрезке [0,1] и очевидно, что φ(0)=f(x), φ(1)=f(y). По правилу нахождения производной сложной функции имеем:

φ′(t)=n∑i=1∂f∂x(x1+t(y1−x1),…,xn+t(yn−xn))(yi−xi).      (3)

Применим к функции φ(t) формулу приращений Лагранжа для функции одной переменной. Получаем, что найдется число θ∈(0,1) такое, что φ(1)—φ(0)=φ′(θ). Используя формулы (2) и (3), теперь легко получаем формулу (1).◻

[spoilergroup]

Спойлер

[/spoilergroup]

Литература

Тест

Формула конечных приращений Лагранжа

Теста на знание формулы конечных приращений Лагранжа


Таблица лучших: Формула конечных приращений Лагранжа

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *